卷积和互相关有什么区别？

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我在多个站点上发现卷积和互相关是相似的（包括卷积的标记Wiki），但是在任何地方都找不到它们有何不同。

两者有什么区别？您能说自相关也是一种卷积吗？

convolution autocorrelation cross-correlation

— 面
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有趣的是，对于偶数实函数，互相关和卷积会产生相同的结果。

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一种使用五角星★，另一种使用六角星✶。

— endlith 2014年

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互相关和卷积之间的唯一区别是其中一个输入的时间反转。离散卷积和互相关定义如下（对于真实信号；当信号复杂时，我忽略了所需的共轭）：

x [n] * h [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n - k]

$x[n] * h[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n-k]$

c o r r (x [n], h [n]) = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n + k]

$corr(x[n],h[n]) = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n+k]$

这意味着您可以使用诸如重叠保存之类的快速卷积算法来有效地实现互相关。只是时间先反转输入信号之一。自相关与上述相同，只是，因此您可以用相同的方式将其视为与卷积相关。 $h[n] = x[n]$

编辑：由于其他人只是问了一个重复的问题，我被启发添加了另一条信息：如果您使用像重叠保存之类的快速卷积算法在频域中实现相关性，则可以避免浪费时间，首先通过在频域中共轭一个信号来首先反转其中一个信号。可以证明，频域中的共轭等效于时域中的反转。

— 杰森·R
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这个答案对于真实信号是很好的，但是Jason提出了复数值信号，在这种情况下，需要注意的是，“唯一的区别是……时间反转……”的情况并非完全如此。相关公式中的两个信号之一需要复共轭（共轭是一个惯例，有人说可能和有人说，但都称水果为蔬菜）。另一方面，在卷积公式中没有信号被共轭。

— Dilip Sarwate 2012年

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但是它们如此相似意味着什么？用一些深刻的直觉的话！

— 迭戈

我看不到这是如何扭转它，而不是将其朝相反的方向转移到有用的地方？

— 乔纳森。

@乔纳森：之所以发生反转，是因为在相关与卷积的情况下求和内部的时间索引

被取反。如果算出示例信号的数学运算，您将看到效果。

k

$k$

— 杰森R

@JasonR，肯定会导致相反方向的变化吗？我试过算了，所有发生的是x输入从h输入移开，所有结果都为零。jsfiddle.net/ua5d1uo2

— 乔纳森（Jonathan）。

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[H f] (x) \equiv f (x) * h (x) \equiv \int d x^{'} h (x - x^{'}) f (x^{'})

$[Hf](x) \equiv f(x) * h(x) \equiv \int\mathrm{d}x' h(x-x')f(x')$

[G f] (x) \equiv f (x) ⋆ h (x) \equiv \int d x^{'} h^{*} (x^{'} - x) f (x^{'})

$[Gf](x) \equiv f(x) \star h(x) \equiv \int \mathrm{d}x'h^*(x'-x)f(x')$

G

$G$

H

$H$

f (x) * h (x) = h (x) * f (x),

$f(x) * h(x) = h(x) * f(x),$

$\\\\\\\\$

— 朝皇
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作为一名学生，我曾遇到过与您同样的问题。让我用最简单的词向您解释，无需任何数学运算。

卷积：用于对两个函数进行卷积。听起来可能有些多余，但我举个例子：您想对一个晶胞（可以包含您想要的任何东西：蛋白质，图像等）和晶格结构进行卷积（用非数学术语“组合”）。结果将是此晶胞在每个晶格点中组织在一起，从而创建一个有组织的晶胞重复结构。

互相关：用于识别结构内部的单元。例如，您具有一小座城市的图像和整个城市的图像。通过互相关，您可以确定小图片在城市整体图片中的位置。说起来更简单，它会“扫描”直到找到匹配项。现在，通过找到互相关因子来实现此目的，该互相关因子来自每个图片的值的各种乘积之和。

这很简单。如果您想以友善的方式更多地了解数学，请观看此视频。CALTECH的这位教授以我所见过的最好的方式对其进行了解释。

https://www.youtube.com/watch?v=MQm6ZP1F6ms

祝你好运。

— 安德烈斯
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这是两者的可视化图，以防它们有助于直觉：

http://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI

— 用户名
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这是对两个操作之间差异的非常不好选择的说明，因为它给人的印象是互相关结果只是卷积结果的时间倒数。

— Dilip Sarwate