数字滤波器设计所需的数学领域

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我想学习数字滤波器设计。我的数学知识是高中。我可以通过互联网学习数学。那么，我必须学习哪些数学领域？

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欢迎使用DSP.SE！我已经编辑了您的问题并添加了reference-request标签。我意识到这听起来很不礼貌，但是* .SE论坛上通常不使用“嗨”，问题的开头和结尾处的“请/谢谢”。这里的目的是回答问题：因此，提出问题是一件非常好的事情。

— 彼得·克

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也可以看看这个问题及其答案。

— 马特·L。

主持人先生，尽管美国人你不再是牛郎。你有些文明。然后，应允许以“先生们”介绍和以“问候”结尾。

— 乔治·狄奥多西

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@乔治·狄奥多西（George Theodosiou）：我花了一段时间习惯了不使用此网站上的“ Hello”和“ Thanks”。该网站的管理员希望避免使用所谓的“ chitchat”。（讨论与信号处理无关的琐碎事情。正是我现在正在做的事情。）顺便说一下，尽管数量不多，但美国仍然有真正合法的牛仔。一个月前，我在内华达州的一家酒吧遇到一位牛仔，他穿着皮背心，皮套上有六个射手。

— 理查德·里昂斯

我把一些DSP资源在这里：pipad.org/wiki/index.php/DSP

— P I

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如果您有能力自己学习数学。为了进行滤波器设计，您需要控制的两个数学领域是：功能分析和凸优化。几乎每个滤波器设计都是优化问题的结果，例如：找到这些个数集，以使这些频率范围内的傅立叶变换的绝对值具有以下形状（当频率为0Hz至320Hz时，这两个极限之间；当频率大于340Hz时，在其他两个之间）。或者，数字的集合是什么，使得当将数字序列的离散卷积应用于此信号，结果是该信号 $N$ $N$ $x(n)$ 。还有许多其他定义它们的方法。 $y(n)$

并且您将需要进行功能分析，以了解如何对信号建模，如何对系统建模以及如何对信号之间的交互和操作（转换，卷积等）进行建模。

希望能帮助到你。

— 骨
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当然。我完全同意你的观点。我要回答的问题是提供一种了解滤波器设计背后的基本数学概念的方法。我进行滤波器设计的方法是去matlab，打开滤波器设计工具并调整参数，直到找到合适的东西。但这对于想要“学习”滤波器设计的人来说不是一个合适的答案。话虽这么说：我描述的优化问题是matlab幕后所做的事情，也许是数值逼近。

— 骨

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开始：

复数

滤波器的频率响应更容易理解复数值，它描述了幅度频率响应和相位频率响应。您将能够理解极点和零点，这可能很复杂。复数使您可以具有负频率，这将使数学更简单。

三角学

$\sin$ $\cos$ $e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

差异化

要找到一个简单的滤波器在什么频率下达到峰值或下降，您可以求解其幅值频率响应的导数在零上。

积分

傅立叶变换和傅立叶逆变换需要积分。

傅里叶变换

傅立叶变换使您可以从脉冲响应转换为频率响应，然后返回。同样，您在时域中所做的事情通常在频域中具有简单的对应关系，反之亦然。

— 奥利·尼米塔洛（Olli Niemitalo）
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我还要补充一点，这本免费书籍涵盖了列表中“集成”之后的大部分需求。

— MBaz

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假设您将要在软件/固件中实现过滤器，您还希望对数值分析有所了解。拉普拉斯变换也很有用，因为许多数字滤波器均来自模拟滤波器。

— MackTuesday 2015年

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@乔治·狄奥多西（George Theodosiou）：我建议您首先阅读一本面向DSP初学者的不错的书，而不是研究各种高级数学学科（其中只有一部分对您有用）。例如流行的书籍《了解数字信号处理》或《数字信号处理科学家和工程师指南》。这些书将慢慢地，轻柔地喂给读者开始学习DSP所需的数学知识。然后，当您在那些困扰您的书中遇到一些方程式时，您可以上网并更深入地学习该特定方程式的数学。

乔治，如果您对学习数字过滤的渴望是真诚的，并且您保持热情，那么您将成功。用苏珊·安东尼的话说：“失败是不可能的。” 祝好运。

— 理查德·里昂斯
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里昂先生，非常感谢您的评论。我已经开始研究您的书“了解数字信号处理”，并且对此有一些评论，但是需要发布一些地址。问候。

— George Theodosiou 2015年

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@乔治·狄奥多西（George Theodosiou）：我欢迎您的来信。我在R_dot_Lyons_at_ieee_dot_org。亚萨斯

— 理查德·里昂斯

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非常感谢那些回答，评论和查看我的问题的人。我的回答是，我必须按照伯恩先生的建议从功能分析开始。我记得从高中时就知道x的多项式等于y时，x的函数就是y。我还记得代数关于实系数的基本定理。然后，我可以从这些知识开始。

— 乔治·狄奥多西
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对于数字滤波器设计，我感谢上面的回答，并希望添加一些字段。

首先，让我们限制为线性填充。线性以及时间不变性是基本假设。有了它们，向量空间，卷积（积分和级数）和傅立叶变换（功能分析的一部分，具有复杂的三角函数）成为自然的工具。我坚持认为这些工具是线性/时间不变性的自然结果，如果您能做到这一点，那么您将轻而易举地使用所需的工具。优化在滤波器设计中非常普遍。

在侧面，您可以记住其他字段。您可能对设计具有不同速率的互补滤波器感兴趣，而多速率滤波器设计可能会导致矩阵分解，这在滤波器结构（晶格，阶梯）和频谱分解中也很有用。如果您要进行实时系统实现（FPGA，微控制器），则必须深入研究定点或整数算法。当然，采样理论是一阶要求，尤其是在进行多维（图像处理）时。使用多项式系统和Gröbner基，甚至可以接触到更高的数学。

对于许多主题的基本数学知识和简洁的介绍，Gasquet＆Witomski Fourier分析和应用程序，我非常喜欢：滤波，数值计算，小波。

让我添加一个较少提及的问题：一个大问题通常是抽头的数量以及满足某种滤波器设计所需的精度（每个系数的位数）。两种来源：

Ichige 等。最佳{FIR}数字滤波器的最小滤波器长度的准确估计，电路和系统IEEE交易II：模拟和数字信号处理，2000年
Bellanger，论数字滤波器的计算复杂性，1981年

— 劳伦·杜瓦尔（Laurent Duval）
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