从信号分析的角度看，卷积和互相关之间的区别

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我试图理解卷积和互相关之间的区别。我已阅读的理解这个答案。我也了解下面的图片。

但是，就信号处理而言（一个我不太了解的领域。），给定两个信号（或者可能是一个信号和一个滤波器？），何时使用卷积，何时使用互相关，我意思是，在现实生活中进行分析时，我们会更喜欢卷积，而在何时，我们会更倾向于互相关。

似乎这两个术语有很多用处，那么，这有什么用？

*此处的互相关应g*f改为f*g

discrete-signals continuous-signals signal-detection

— MathBgu
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在信号处理中，两个问题很常见：

当输入为时，此滤波器的输出是什么？答案由，其中是称为滤波器的“脉冲响应”的信号，而是卷积运算。 $x(t)$ $x(t)\ast h(t)$ $h(t)$ $\ast$
给定一个有噪声的信号，信号以某种方式存在于？换句话说，的形式为，其中是噪声吗？可以通过和的相关性找到答案。如果对于给定的时间延迟，相关性很大，那么我们可以有把握地说答案是肯定的。 $y(t)$ $x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $x(t)+n(t)$ $n(t)$ $y(t)$ $x(t)$ $\tau$

注意，当所涉及的信号是对称信号时，卷积和互相关成为相同的运算。这种情况在DSP的某些领域也很常见。

— 巴兹
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得到它了。非常感谢您的明确答复！

— MathBgu 2015年

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我对冲激响应解释的喜欢是，您真的了解了为什么卷积被“反转”了。用离散的术语来说，电流输出是当前输入x在时间0处的脉冲响应+先前输入脉冲响应（输入n-1 *脉冲1 +输入n-2 *脉冲2等等）的残余输出。

— Jean-Frederic PLANTE

@ Jean-FredericPLANTE是的，这是解释它的好方法。

— MBaz

这个带有@ Jean-FredericPLANTE注释的答案使其更加明智。

— tpk

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卷积和互相关这两个术语在DSP中的实现方式非常相似。

您使用哪一个取决于应用程序。

如果要执行线性，时不变的滤波操作，则会使信号与系统的脉冲响应进行卷积。

如果要“测量两个信号之间的相似性”，则需要对它们进行互相关。

当您尝试生成匹配的过滤器时，这两个术语会合在一起。

在这里，您试图确定给定信号包含已知的“脉冲”（信号）。一种方法是将给定信号与已知脉冲的时间倒数进行卷积：现在，您正在使用卷积对给定信号与已知脉冲进行互相关。 $s[n]$ $p[n]$ $s$ $p$

旁注

在某些领域，术语“互相关”被误用了。

对于统计人员的相关性的值测量两个变量的接近程度，应该是介于和。 $-1$ $+1$

从Wikipedia互相关性条目中可以看到，使用了DSP版本，它们指出：

互相关是两个系列相似性的度量，是一个相对于另一个的滞后的函数。

与DSP定义的问题：是，这个“相似性”测量每个信号取决于能量。

\sum_{\forall 米} X [ñ] ÿ [ñ + 米]

$\sum_{\forall m} x[n] y[n+m]$

— 彼得·K.
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这对我非常有帮助。谢谢！

— MathBgu 2015年

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在信号处理中，执行卷积以获得LTI系统的输出。通常计算相关性（自相关或互相关），以便稍后用于其他一些计算

您必须注意不要混淆相关性，协方差和相关系数。相关性不必一定在-1和1之间。相关性系数（https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient）介于-1和1之间，因为它由两个随机变量方差来缩放。我们必须记住的是，要统计分析两个随机变量之间的相关性，在统计信号处理中要做的实际操作是“协方差”，而不是相关性。但是对于大多数应用来说，信号被传感器捕获并转换为电压并由ADC进行数字化，您可以假定信号为零均值，因此相关性等于协方差。

— 骨
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我将在该链接中查看。谢谢！

— MathBgu 2015年

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@MathBgu我已经阅读了上面给出的所有答案，所有这些都是非常有益的一件事，我想通过考虑如下的卷积公式来加深您的理解

F （ X ） * G （ X ） = \int_{- \infty}^{\infty} F （ τ ） G （ X - τ ） d τ

$f(x)*g(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(x-\tau)\,d\tau$

对于互相关

（ F ⋆ G ） （ Ť ） \overset{定义}{=} \int_{- \infty}^{\infty} F^{*} （ τ ） G （ Ť + τ ） d τ ，

$(f\star g)(t)\stackrel{\text{def}}{=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f^*(\tau)g(t+\tau)\,d\tau,$

$(t)$ $(-t)$

我们使用卷积来获得系统的输出/结果，该系统具有两个块/信号，并且它们在时域中彼此直接相邻（串联）。

— 法赫姆
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谢谢您提到这些澄清点！

— MathBgu 2015年

f *中的*是否暗示复共轭？而不是“横过y轴”，而应考虑“反转时间轴”，因为翻转感觉像是发生了垂直变化，尤其是。在提及y轴时。

— Petrus Theron

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卷积和相关的含义之间有很多微妙之处。两者都属于线性代数中内积和投影的广义概念，即将一个向量投影到另一个向量上，以确定它在后者方向上的“强度”。

这个想法扩展到了神经网络领域，在这里我们将数据样本投影到矩阵的每一行上，以确定它“适合”该行的程度。每行代表一类特定的对象。例如，每一行可以将字母中的字母分类以进行手写识别。通常将每一行称为神经元，但也可以称为匹配过滤器。

从本质上讲，我们正在测量两件事之间的相似程度，或者试图在某物（例如信号或图像）中找到特定特征。例如，当您用带通滤波器对信号进行卷积时，您试图找出该频带中的内容。当您将信号与正弦波（例如DFT）相关时，您正在寻找信号中正弦波频率的强度。请注意，在后一种情况下，相关性不会滑动，但是您仍在“关联”两件事。您正在使用内部积将信号投射到正弦波上。

那么，有什么区别呢？好吧，考虑到卷积，信号相对于滤波器向后。对于随时间变化的信号，其效果是数据按进入滤波器的顺序进行关联。暂时，让我们简单地将相关性定义为点积，即将一件事投射到另一件事上。因此，首先，我们将信号的第一部分与滤波器的第一部分相关联。随着信号继续通过滤波器，相关性变得更加完整。请注意，信号中的每个元素仅与该时间点“触摸”的滤波器元素相乘。

因此，通过卷积，我们在某种意义上是相互关联的，但是我们也试图保留随着信号与系统交互而发生变化的时间顺序。但是，如果滤波器是对称的（通常如此），则实际上并不重要。卷积和相关将产生相同的结果。

通过相关性，我们只是比较两个信号，而不是尝试保留事件的顺序。为了比较它们，我们希望它们面向相同的方向，即对齐。我们将一个信号滑到另一个信号上，以便我们可以在每个时间窗口中测试它们的相似性，以防它们彼此异相或者在较大的信号中寻找较小的信号。

在图像处理中，情况有所不同。我们不在乎时间。但是，卷积仍然具有一些有用的数学属性。但是，如果您尝试将较大图像的一部分与较小图像进行匹配（即匹配的过滤），则您将不希望将其翻转，因为这样会使功能无法对齐。当然，除非滤波器是对称的。在图像处理中，相关性和卷积有时可以互换使用，尤其是在神经网络中。显然，如果图像是二维数据的抽象表示（其中一维是时间）（例如，频谱图），则时间仍然有意义。

因此，总而言之，相关性和卷积都是滑动的内积，用于随着空间或时间的变化将一件事投射到另一件事上。当顺序很重要时，使用卷积，通常用于转换数据。相关通常用于在较大事物内部找到较小事物，即进行匹配。如果两个“事物”之一至少是对称的，那么使用哪个都无关紧要。

— 奥罗定
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抛开信号处理，如果您只是想了解卷积和相关中发生的事情，两者都是非常相似的操作。唯一的区别在于卷积，在执行乘积累加之前将变量之一反转（翻转）。看到我在上面的任何地方都没有使用信号一词。我只是在谈论执行的操作。

现在，让我们进入信号处理。

给定输入信号（x）和系统的脉冲响应（h），使用卷积运算来计算线性时不变系统（LTI system）的输出。要了解为什么仅使用卷积运算来获取LTI系统的输出，需要进行大量推导。请在这里找到派生词。

http://www.rctn.org/bruno/npb163/lti-conv/lti-convolution.html

使用相关运算来找到两个信号x和y之间的相似性。相关值越大，两个信号之间的相似度就越大。

了解这里的区别，

卷积->信号与系统（滤波器）之间
关联->两个信号之间

因此，从信号分析的角度来看，不使用卷积运算。从信号分析的角度来看，仅使用相关性。而从系统分析的角度来看，使用卷积。

理解卷积和相关运算的最佳方法是了解在两个连续变量之间进行两次卷积和相关时所发生的情况，如问题图中所示。

— 卡迪克·波杜古（Kartik Podugu）
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