通过FFT快速进行余弦变换

我想实现快速余弦变换。我在Wikipedia上读到，有一个DCT的快速版本，其计算方法与FFT类似。我尝试阅读引用的Makhoul *论文，了解Scipy中也使用的FTPACK和FFTW实现，但是我无法提取实际的算法。这是我到目前为止所拥有的：

FFT代码：

def fft(x):
    if x.size ==1:
        return x
    N = x.size
    x0 = my_fft(x[0:N:2])
    x1 = my_fft(x[0+1:N:2])
    k = numpy.arange(N/2)
    e = numpy.exp(-2j*numpy.pi*k/N)
    l = x0 + x1 * e
    r = x0 - x1 * e  
    return numpy.hstack([l,r])

DCT代码：

def dct(x):
    k = 0
    N = x.size
    xk = numpy.zeros(N)
    for k in range(N):     
        for n in range(N):
            xn = x[n]
            xk[k] += xn*numpy.cos(numpy.pi/N*(n+1/2.0)*k)
    return xk 

FCT试用：

def my_fct(x):
    if x.size ==1:
        return x
    N = x.size
    x0 = my_fct(x[0:N:2]) # have to be set to zero?
    x1 = my_fct(x[0+1:N:2])
    k = numpy.arange(N/2)
    n = # ???
    c = numpy.cos(numpy.pi/N*(n+1/2.0)*k)
    l = x0 #???
    r = x0 #???
    return numpy.hstack([l,r])

* J。Makhoul，“一维和二维快速余弦变换”，IEEE Trans。co 语音信号 程序 28（1），27-34（1980）。

我一直在阅读有关这一点，并有多种方式来做到这一点，使用不同大小N.我的Matlab是生疏了，所以在这里，他们是在Python（N输入信号的长度x，k是arange(N)= ））：$[0, 1, 2, ..., N-1]$

使用4N FFT且无移位的2型DCT

信号[a, b, c, d]变为

[0, a, 0, b, 0, c, 0, d, 0, d, 0, c, 0, b, 0, a]。

然后进行FFT以获得频谱

[A, B, C, D, 0, -D, -C, -B, -A, -B, -C, -D, 0, D, C, B]

然后扔掉除了first之外的所有东西[A, B, C, D]，然后完成：

u = zeros(4 * N)
u[1:2*N:2] = x
u[2*N+1::2] = x[::-1]

U = fft(u)[:N]
return U.real

使用2N FFT镜像的2型DCT（Makhoul）

[a, b, c, d][a, b, c, d, d, c, b, a][A, B, C, D, 0, D*, C*, B*][A, B, C, D]$e^{-j \pi k \over 2 N}$

y = empty(2*N)
y[:N] = x
y[N:] = x[::-1]

Y = fft(y)[:N]

Y *= exp(-1j*pi*k/(2*N))
return Y.real

使用2N FFT填充的Type 2 DCT（Makhoul）

[a, b, c, d][a, b, c, d, 0, 0, 0, 0][A, B, C, D, E, D*, C*, B*][A, B, C, D]$2e^{-j \pi k \over 2 N}$

y = zeros(2*N)
y[:N] = x

Y = fft(y)[:N]

Y *= 2 * exp(-1j*pi*k/(2*N))
return Y.real

使用N FFT的2型DCT（Makhoul）

[a, b, c, d, e, f][a, c, e, f, d, b][A, B, C, D, C*, B*]$2 e^{-j \pi k \over 2N}$

v = empty_like(x)
v[:(N-1)//2+1] = x[::2]

if N % 2: # odd length
    v[(N-1)//2+1:] = x[-2::-2]
else: # even length
    v[(N-1)//2+1:] = x[::-2]

V = fft(v)

V *= 2 * exp(-1j*pi*k/(2*N))
return V.real

在我的机器上，这些速度大致相同，因为生成exp(-1j*pi*k/(2*N))时间比FFT长。：D

In [99]: timeit dct2_4nfft(a)
10 loops, best of 3: 23.6 ms per loop

In [100]: timeit dct2_2nfft_1(a)
10 loops, best of 3: 20.1 ms per loop

In [101]: timeit dct2_2nfft_2(a)
10 loops, best of 3: 20.8 ms per loop

In [102]: timeit dct2_nfft(a)
100 loops, best of 3: 16.4 ms per loop

In [103]: timeit scipy.fftpack.dct(a, 2)
100 loops, best of 3: 3 ms per loop

$x(n)$

让

$y(n) = \Bigl\lbrace \begin{array}{ll} x(n), & n=0,1,...,N-1\\ x(2N - 1 - n), & n=N,N+1,...,2N-1 \end{array}$

DCT然后由

$C(k) = \mathrm{Re}\Bigl\lbrace e^{-j\pi \frac{k}{2N}} FFT\lbrace y(n)\rbrace\Bigr\rbrace$

$2N$$y(n)$$x(n)$$x(n)$

这是MATLAB中的代码。

function C = fdct(x)
    N = length(x);
    y = zeros(1,2*N);
    y(1:N) = x;
    y(N+1:2*N) = fliplr(x);
    Y = fft(y);
    k=0:N-1;
    C = real(exp(-j.* pi.*k./(2*N)).*Y(1:N));

编辑：

注意：此使用的DCT公式是：

$C(k) = 2\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cos\left(\frac{\pi k}{2N}(2n+1) \right)$

有几种缩放总和的方法，因此它可能与其他实现不完全匹配。例如，MATLAB使用：

$C(k) = w(k)\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cos\left(\frac{\pi k}{2N}(2n+1) \right)$

$w(0) = \sqrt\frac{1}{N}$$w(1...N-1) = \sqrt{\frac{2}{N}}$

您可以通过适当缩放输出来解决此问题。

对于真正的科学计算，内存使用量也很重要。因此，N点FFT对我来说更具吸引力。这仅由于信号的厄米对称性才有可能。参考Makhoul在这里给出。并且实际上具有用于计算DCT和IDCT或DCT10和DCT01的算法。
http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1163351/