连续函数的采样：克罗内克（Kronecker）还是狄拉克（Dirac）的增量？

我一直在阅读信号处理方面的一些论文，对问题的标题感到非常困惑。考虑时间的连续函数，，即在不平坦的倍I样本，其中。对我来说，是非常有意义的取样函数是： $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ 其中，是克罗内克的增量（等于时，零别处）。但是，在本文中，作者将采样信号定义为：

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

其中

是狄拉克的delta函数，我真的不知道为什么

出现在这里（作者权利要求书，所述采样函数实际上是δ函数的加权和

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

在这里他选择

。我真的不明白为什么）。这最后一个说法对我来说意义不大：在

，采样信号将具有无限幅值！

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— 内斯托
source

在我的经验中，通过将连续时间信号乘以一系列狄拉克脉冲来对采样过程进行建模是最常见的解释。如果您深入研究它，您会发现对这种方法的数学精度有一些分歧*，但我不会担心。这只是该过程的便捷模型。手机的ADC内没有脉冲发生器，它们不会产生周期性的雷电，从而使模拟输入倍增。

如您所述，您无法计算Kronecker delta函数的连续时间傅里叶变换，因为它的域不是连续的（它限于整数）。相比之下，狄拉克增量函数具有简单的傅立叶变换，并且由于其筛选特性，很容易显示出将信号与一系列狄拉克脉冲相乘的效果。

*：例如，如果您要在数学上精确，您会说Dirac增量根本不是函数，而是分布。但是从工程的角度来看，这些问题实际上只是语义。

编辑：我将在下面评论。您给出了抽样过程的思维模型：

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

这是不正确的。相反，采样信号的模型为：

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

这正是离散时间傅立叶变换的定义。

— 杰森·R
source

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$