FIR滤波器需要多少抽头？

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我正在设计一套FIR滤波器，以实现一个低通滤波器。我还试图减少通过滤波器的信号延迟，因此我想知道我可以使用的最小抽头数量是多少。

我知道更多的抽头可以导致更陡峭的频率截止和更好的阻带抑制等。但是，我感兴趣的是更基本的-如果我想在表示这是否意味着我至少需要100次抽头才能衰减低频信号？还是我可以用更少的水龙头逃脱，如果可以，那么理论上的下限有没有？ $\frac{f_s}{100}$

filter-design fir

— 汤米
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引用贝兰格经典的信号数字处理技术-理论与实践，重点不是您的截止频率所在，而是您需要多少衰减，要保留的信号波纹有多少，以及最重要的是如何承受缩小从通带到阻带的过渡范围（过渡宽度）。

我假设您需要一个线性相位滤波器（尽管您指定了最小延迟，但通常来说，我认为最小相位滤波器不是一个好主意，除非您知道该死以后对信号的处理方式）。在这种情况下，过滤顺序（即抽头数）为

N \approx \frac{2}{3} \log_{10} [\frac{1}{10 δ_{1} δ_{2}}] \frac{f_{s}}{Δ f}

$N\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}$

与

\begin{aligned} f_{s} & the sampling rate \\ Δ f & the transition width, \\ ie. the difference between end of pass band and start of stop band \\ δ_{1} & the ripple in passband, \\ ie. "how much of the original amplitude can you afford to vary" \\ δ_{2} & the suppresion in the stop band . \end{aligned}

$\begin{align} f_s &\text{ the sampling rate}\\ \Delta f& \text{ the transition width,}\\ & \text{ ie. the difference between end of pass band and start of stop band}\\ \delta_1 &\text{ the ripple in passband,}\\ &\text{ ie. "how much of the original amplitude can you afford to vary"}\\ \delta_2 &\text{ the suppresion in the stop band}. \end{align}$

让我们插入一些数字！您指定的截止频率为，所以我继续说您的过渡宽度将不超过其一半，因此。 $\frac{f_s}{100}$ $\Delta f=\frac{f_s}{200}$

来自SDR / RF技术的60 dB抑制通常就足够了–硬件，没有疯狂的成本，不会在输入中阻止不必要的信号，因此，不要让CPU浪费在拥有更好的出色滤波器上比您的硬件所能做的。因此，。 $\delta_2 = -60\text{ dB} = 10^{-3}$

假设您在通带中可以承受0.1％的幅度变化（如果您可以承受更大的幅度，还可以考虑降低抑制要求的严格程度）。那是。 $\delta_1 = 10^{-4}$

因此，将其插入：

\begin{aligned} ñ_{汤米的过滤器} & \approx \frac{2}{3} {日志}_{10} [\frac{1个}{10 δ_{1个} δ_{2}}] \frac{F_{s}}{Δ F} \\ = \frac{2}{3} {日志}_{10} [\frac{1个}{10 \cdot 10^{- 4} \cdot 10^{- 3}}] \frac{F_{s}}{\frac{F_{s}}{200}} \\ = \frac{2}{3} {日志}_{10} [\frac{1个}{10 \cdot 10^{- 7}}] 200 \\ = \frac{2}{3} {日志}_{10} [\frac{1个}{10^{- 6}}] 200 \\ = \frac{2}{3} （ {日志}_{10} 10^{6} ） 200 \\ = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot 200 \\ = 800 。 \end{aligned}

$\begin{align} N_\text{Tommy's filter} &\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-4}\cdot10^{-3}}\right]\,\frac{f_s}{\frac{f_s}{200}}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-7}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10^{-6}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \left(\log_{10} 10^6\right) \,200\\ &= \frac 23 \cdot 6 \cdot 200\\ &= 800\text{ .} \end{align}$

因此，如果您使用200次抽头，那您就相去甚远，只要您像我想的那样在滤波器中使用非常窄的通带即可。

请注意，这并不具备成为一个问题-首先，800型水龙头过滤器是可怕的，但坦率地说，只有一见钟情：

正如我在StackOverflow上的此答案中所测试的：如果您使用某人的CPU优化的FIR实现，那么CPU的速度很快。例如，我将GNU Radio的 FFT-FIR实现与上面的滤波器规范一起使用。我每秒获得1.41亿个样本的性能-可能对您来说可能不够。因此，这是我们针对问题的测试用例（花了我几秒钟的时间）：
抽取：如果只保留输入带宽的一小部分，则滤波器的输出将被严重过采样。引入的抽取意味着您的滤波器不会给您所有输出样本，而是给每个个样本–通常会导致很多混叠，但是由于您消除了所有可能混叠的信号，因此您可以轻率地这样做。聪明的滤波器实现（多相抽取器）可以通过这种方式将计算量减少M。就您而言，您可以轻松地将抽取，然后，您的计算机只需计算 $M$ $M$ $M=50$ $\frac{1200}{50}= 24$ 每个输入样本的乘法/累加-容易得多。GNU Radio中的过滤器通常确实具有该功能。这样一来，即使在FFT FIR中（这对多相抽取器的实现也不太好），我也可以将性能提高2倍。不能做更多的事情。根据我的经验，这与系统上的RAM带宽非常接近。对于
延迟：不在乎。真的，除非您需要。您是以典型的音频采样率来执行此操作吗？请记住，。因此，计算滤波器输出所花费的时间仅与MS / s实时信号流有关。对于具有离线数据的DSP：好吧，为与滤波器并行补偿的任何信号增加延迟。（如果您的滤波器是线性相位，则其延迟将是滤波器长度的一半。）这可能与FIR滤波器的硬件实现有关。 $96\,\frac{\text{kS}}{\text{s}}\overset{\text{ridiculously}}{\ll}141\,\frac{\text{MS}}{\text{s}}$
硬件实现：因此，也许您的PC或嵌入式设备的CPU和OS确实不允许您满足延迟限制，因此您正在研究FPGA实现的FIR。您会注意到的第一件事是，对于硬件，存在不同的设计范式–“我压制除了 $\frac1{100}$ 输入速率的“”过滤器需要较大的位宽，用于在硬件中处理的定点数（与CPU上的浮点数相对）。因此，这是通常将过滤器分为多个的第一个原因，级联的，较小的，抽取FIR滤波器的另一个原因是，您可以在每个级联的“步骤”中使乘法器（通常是“ DSP Slice”）以较低的速率运行，从而对其进行复用（DSP Slice的数量）通常是非常有限的），将一个乘法器用于多个抽头。另一个原因是，特别是半带滤波器，即抑制一半输入频带并提供一半输入速率的低通滤波器，可以非常有效地在硬件中实现（因为它们具有一半抽头为零，这在CPU / SIMD实现中很难利用）。

— 马库斯·穆勒（MarcusMüller）
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在1990年代中期初期，Lake DSP实时制作了256,000个抽头FIR滤波器。1200个水龙头？ff！;-)

— Peter K.

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@PeterK。就是那种精神！对256kT FIR的深切敬意–他们所建立的数值精度必须与设计的绝对规模一样惊人。90年代初期太年轻，无法自己享受技术乐趣，这一定是一个有趣的时期。曾与一位工程师交谈过，那时候他们曾经做过DFT IC。随着人们意识到计算平台实际上可以处理最终的数据流，但对于DSP ASIC的需求似乎很高，但是周围没有“多功能”加速器（不同于今天）。

— 马库斯·穆勒

@PeterK。，是的，但是他们的澳洲人总是拉我们的腿。

— 罗伯特·布里斯托

@ robertbristow-johnson oy matey，这是什么内幕玩笑：D？

— MarcusMüller'16

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@MarcusMüller，虽然那里看来是ASIC的当时相比，现在的普及增加（我认为这是因为每个人都认为是一个ASIC规格/设计师那么现在只是利用FPGA）的出现是 “多功能”的DSP初回90年代。LakeDSP东西被制成6 DSP56001。

— 罗伯特·布里斯托

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对于快速而实用的估计，我喜欢弗雷德·哈里斯（Fred harris）的经验法则：

ñ_{Ť 一种 p s} = \frac{一种 Ť Ť Ë ñ}{22 * 乙_{Ť}}

$N_{taps} = \frac{Atten}{22*B_T}$

哪里：

Atten是所需的衰减（以dB为单位），

$B_T$ 是归一化的过渡带， $B_T=\frac{F_{stop}- F_{pass}}{F_s}$

$F_{stop}$ 和是阻带和通带频率，单位为Hz和 $F_{pass}$

$F_s$ 是以Hz为单位的采样频率。

这非常接近通带纹波为0.1 dB的线性相位滤波器的结果。我经常使用此经验法则来初步了解所需的抽头数量，然后在滤波器设计过程中通过迭代进行修改。

还要注意：这种经验法则可以深入了解真正驱动抽头数量的因素：阻带衰减和过渡带的陡度（以及通带波纹），但通常至少对于我不得不设计的滤波器无线通信应用-衰减要求将主要取决于纹波）。因此，您在确定Fs / 100截止时的问题就缺少了需要多快的时间才能过渡到阻带。

示例：60 dB衰减， = 100KHz， = 1KHz， = 3KHz $F_s$ $F_{pass}$ $F_{stop}$

$N_{taps} = \frac{60}{22*2/100}=137$ 2/100抽头（四舍五入）

运用这些数字还可以证明使用抽取方法在减少处理量方面的重要性。

— 丹·博申
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除了接受的答案，还有一些其他参考。我不会写可能涉及的公式。这些公式大多产生经验法则或近似值。您可以为您的实际设计弄乱这些数字。

贝朗厄尔设计的起源之一是：关于数字滤波器的计算复杂性，1981年，Proc.Natl.Acad.Sci.USA。欧元。Conf。电路理论设计，M。Bellanger。这很难获得，但是是可行的。有趣的是，它还指定了用于评估每个系数的位数的公式，应在有限算术实现中考虑这些公式。法语中一个更易于访问的版本是：1982年，《犯罪综合评价》（Evaluation de lacomplexitédes filtresnumériques）。

有限冲激响应滤波器设计（《数字信号处理手册》，1993年，T。Samamaki）中收集了其他几个公式。

最近，您可以阅读《最佳FIR数字滤波器的最小滤波器长度的准确估计》，2000年，K。Ichige 等。

最后，论文使用10范数优化，以最小的滤波器阶数实现FIR滤波器的高效设计，2014年提出了一种设计，其中阶数逐渐减小。

— 劳伦·杜瓦尔（Laurent Duval）
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最小化 最高 （ | H （ ω ） | ） 对所有人 ω 在阻带中

$\text{minimize} \ \text{max}\left(\left| H(\omega) \right|\right) \text{for all } \omega \text{ in the stopband}$

服从 \frac{1个}{δ} \leq | H （ ω ） | \leq δ 对所有人 ω 在通带中

$\text{subject to} \frac{1}{\delta} \leq \left| H(\omega) \right| \leq \delta \text{ for all } \omega \text{ in the passband}$

我能想到的主要实际问题是进行优化时使用的频率样本数，因为频率间样本行为会导致不良影响。配合的良好程度当然取决于抽头的数量。我想您可以说，最小的抽头数量是问题变得不可行的时候。因此，一种解决方案是解决可行性问题。

— 阿恩芬
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