如何构建具有任意相移的移相器

DSP工程师Fred到他最喜欢的DSP商店购物。

弗雷德：嗨，我想买一个移相器。

店员：嗯，你到底是什么意思？

弗雷德：嗯，你知道，如果你把像正弦曲线你的输出，对于任何。当然，必须是可调的。 $x(t)=\sin(\omega_0t)$ $y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$ $\omega_0$ $\theta$

店员：哦，明白了。抱歉，不，我们没有这些。但是我记得其他人也需要同样的东西，他们总是购买一个希尔伯特变压器，几个乘法器和一个加法器，然后以某种方式将所有这些东西连接在一起，制成一个可调移相器。

弗雷德：哦，是的，对！

弗雷德假装明白那个家伙在说什么。当然，他不知道该怎么做。他买了这个家伙说的他需要的所有东西，并且自己认为自己可以在家解决这个问题，或者其他所有失败的事情，都可以在DSP.SE提出。

弗雷德（Fred）如何使用他在商店获得的组件来构建具有可调相移移相器？ $\theta$

phase hilbert-transform dsp-puzzle

— 马特·L。
source

太好了！请说明相位是否在所有频率上（在给定频段内）必须相同，或者恒定的任意延迟就足够了（给定频率，您可以建立相位，但是相位将随频率线性变化）。我想我都知道这两种情况的答案，但是会等几天，看看还会发生什么！

— Dan Boschen

您正在谈论的这家商店...就在希尔伯特饭店旁边，对吗？

— M529

在附近的商店中库存的唯一像样的希尔伯特变压器似乎具有这些巨大的输入到输出延迟。我确实在时间机器目录中看到一些更快的机器，但是该供应商的Yelp评论似乎得到了0星。

— hotpaw2

@DanBoschen：任何正弦输入都将移动，而不管其频率如何。因此，每个频率的相位延迟都不同。

θ

$\theta$

— Matt L.

@ hotpaw2：不用理会那些星星，在它们被抢购一空之前迅速获得一颗！

— 马特·

Answers:

好问题！它使用了我最喜欢的触发身份之一（也可以用来表明正交调制实际上是同时进行幅度和相位调制）。

的希尔伯特变换是。此外，（约束为），其中。这表明了一种可能的方法。说弗雷德需要弧度。他计算。然后，他需要找到和，使得和，且和，这是一个简单的代数问题。设置，， $\sin(2\pi f_0t)$ $-\cos(2\pi f_0t)$
$\sin (2 π f_{0} t + θ) = a \sin (2 π f_{0} t) + b \cos (2 π f_{0} t)$ $\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$ $a^2+b^2=1$ $\theta=\text{atan2}(b,a)$ $\theta=2.1$ $\tan(2.1)\approx-1.71$ $a$ $b$ $a^2+b^2=1$ $b/a=-1.71$ $a<0$ $b>0$ $a_0=-1$ $b_0=1.71$ $n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ ，和。然后，佛瑞德可以通过使用Hilbert变换器，两个乘法器，两个DC源（一组能够容易地生成具有所希望的相位的正弦伏特，另一个伏，照顾余弦的符号），以及一个加法器。 $a=a_0/n$ $b=b_0/n$ $a$ $-b$

上述系统的脉冲响应由下式给出：

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

框图：

— 巴兹
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我喜欢这一点，尽管（也许是因为）这与我所想到的完全不同。还要注意，将常数和导出为和可能要容易一些。我等了一下，看看是否有任何其他的答案到来英寸

a

$a$

b

$b$

\cos θ

$\cos\theta$

\sin θ

$\sin\theta$

— 马特L.

为了澄清起见，您可以添加整个系统的脉冲响应和/或频率响应吗？

— 马特·L·

很好的MBaz，这符合我的想法-本质上是“矢量调制器”，它是为此目的而购买的组件（作为一个应用程序）。但是，如果不能将HIlbert变压器作为真实组件购买，就不能将其限制为频带受限的（或者我想用户可以针对每个感兴趣的频带获得不同的变压器）。我现在很想看看Matt的解决方案是否有所不同，因为这是我能想到的全部。

— Dan Boschen

@MattL。我添加了脉冲响应。我也会画一个图并将其发布。关于和的计算的要点。

a

$a$

b

$b$

— MBaz

@DanBoschen是的，我认为希尔伯特变压器是理想的，对于这个难题我认为是可以的。我也对看到Matt的替代解决方案感兴趣。

— MBaz

MBaz的答案是正确的。我只想添加另一种思考方式，当然会得到相同的结果：

具有相移的理想移相器具有频率响应可以重写为受过训练的眼睛将识别出作为理想希尔伯特变压器的频率响应。相应的脉冲响应为。因此，理想的移相器的脉冲响应是其可以被实现为希尔伯特变压器和一根配重导线的加权并联连接 $\theta$
$H (ω) = {\begin{cases} e^{- j θ}, & ω > 0 \\ e^{j θ}, & ω < 0 \end{cases}$ $H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$ $H (ω) = e^{- j θ sign (ω)} = \cos (θ) - j sign (ω) \sin (θ)$ $H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ $g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $h (t) = \cos (θ) δ (t) + \sin (θ) \frac{1}{π t}$ $h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$ $\sin(\theta)$ 和。 $\cos(\theta)$

注意，在实际（离散时间）实现中，可以很好地近似该系统。只需采用设计良好的FIR线性相位Hilbert变压器，其长度为，然后将采样的延迟添加到另一条信号路径即可。 $2N+1$ $N$

— 马特·L。
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很好的解释-我的时域解决方案的频域对应物。

— MBaz

@MBaz：谢谢！比例因子和自动弹出。

\sin (θ)

$\sin(\theta)$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$

— 马特·