为什么LTI系统不能产生任何新频率？

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为什么暗示LTI系统无法生成任何新频率？ $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
为什么如果系统生成新的频率，那么它不是LTI？

convolution time-frequency

— 用户
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LTI系统的明确特征之一是它们无法生成输入中不存在的任何新频率。请注意，在这种情况下，频率是指无限长的或类型的信号，也称为LTI的本征函数系统（仅适用于复指数），其CT傅立叶变换由频域中的脉冲函数表示为或 $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ 分别。

观察为什么会这样的一种方法是观察输出的CTFT，这由众所周知的关系仅当系统为LTI时（实际上也是稳定的，因此存在）。 $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

（即仅在脉冲响应 存在时成立，并且仅在系统为LTI时才存在。）

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

稍加思考，在一个简单的图形图表的引导下，并使用上面的乘法属性，就可以看到输出的支持的频率区域（不为零的频率集合）由给定交叉点的支持区域的和的输入和频率响应：的LTI系统的 $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

而从集代数我们知道，如果则和。也就是说，相交总是小于或等于相交的相交。因此，对的支持区域将小于或最多等于的支持。因此，在输出端不会观察到新的频率。 $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

由于此属性是成为LTI系统的必要条件，因此任何无法拥有它的系统都不能成为LTI。

— 脂肪32
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给定前提，您可以进行简单的代数论证。如果：

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

其中是输入信号的频谱，而）是系统的频率响应，那么很明显，如果输入信号中有一些的，那么；没有因子可以乘以产生非零值。 $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

话虽如此，建立我从上面开始的LTI系统前提的真实性确实需要一些工作。但是，如果我们假设它是真的，那么LTI系统不能在其输出中引入任何新的频率成分这一事实就直接产生了。

— 杰森·R
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证明将表明，对于任何行为良好的信号，傅立叶变换都是可逆的，而FT及其逆都是线性的。每个具有频率的信号都具有足够的行为。

— MarcusMüller16年

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为什么暗示LTI系统不能产生任何新频率？ $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

如果输入中不存在特定频率，则。因为0遵循的乘法身份，。因此，输出信号中不存在频率。 $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

为什么如果系统生成新的频率，那么它不是LTI？

假设我们的输入是。然后，如果我们假设系统可以生成新的频率，则可以获得输出。因为我们找不到常数使得，所以我们的系统不是LTI。 $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— 史考特
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不仅检查c1使用的LTI，还不检查c2？

— USER

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我要说的第一点，本质上是简洁的答案，即您不能通过将零乘以零来得到非零的东西。

— 罗伯特·布里斯托

c1用于线性度，c2用于时移。我们可以有一个LTI系统，将所有内容延迟1个时间单位。

— 斯科特

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一种线性时不变系统是由纯的频率对角化。正弦/余弦是线性系统的特征向量。换句话说，任何单个非零正弦或余弦（或复数的cisoid）输入都具有完全相同频率的正弦或余弦输出（但输出幅度可能会消失）。

唯一可能改变的是它们的幅度或相位。因此，如果在输入中没有给定频率的正弦，则在该输出处您将没有任何收益（零）。

第二个问题是通过对立或法规违规来回答的：如果为真，则。如果系统是LTI，则不会产生新的频率。如果系统生成新的频率，则不是LTI。 $A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— 劳伦·杜瓦尔（Laurent Duval）
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