泄漏积分器与低通滤波器是否一样？

控制泄漏积分器的方程式（至少根据维基百科）为

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$。

连续时间泄漏积分器是否与具有时间常数的低通滤波器$A$（直到输入的一定比例）相同？

所谓的泄漏积分器是具有反馈的一阶滤波器。让我们找到它的传递函数，假设输入为$x(t)$，输出为$y(t)$：

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

（利用的拉普拉斯变换的属性$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

因此，系统的直流增益与反馈因子成反比。接下来，让：w → $A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

因此，对于高频，系统的频率响应变为零。这遵循了低通滤波器的原型。要回答有关其时间常数的其他问题，值得检查系统的时域响应。可以通过对传递函数进行逆变换来找到其脉冲响应：

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

其中是Heaviside阶跃函数。这是一个非常常见的变换，通常可以在Laplace变换的表中找到。该脉冲响应是指数衰减函数，通常以以下格式编写：$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

其中定义为函数的时间常数。因此，在您的示例中，系统的时间常数为。τ = 1$\tau$$\tau = \frac{1}{A}$

频率响应是相同的，是的，但是应用程序是不同的：

• 使用低通滤波器，您的信号在通带内。滤波器的截止频率设置为高于要保留在信号中的最高频率。
• 如果积分器泄漏，您的信号就会进入阻带。滤波器的截止频率设置为低于信号的最低频率。

同样，积分器始终是一阶的，而低通滤波器可以是任何阶的。