MATLAB：

11

在MATLAB中，fft和/或ifft函数的输出通常需要进行额外的处理，然后再考虑进行分析。

我听过很多关于正确的观点的意见：

缩放比例

Mathworks声明fft和ifft函数基于以下方程式：
$\begin{aligned} X [k] & = \frac{1}{1} \cdot \sum_{n = 1}^{N} x [n] \cdot e^{\frac{- j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq k \leq N \\ x [n] & = \frac{1}{N} \cdot \sum_{k = 1}^{N} X [k] \cdot e^{\frac{+ j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq n \leq N \end{aligned}$ $\begin{align} X[k] &= \frac{1}{1} \cdot \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}}, \quad\textrm{where}\quad 1\leq k\leq N\\ x[n] &= \frac{1}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \leq n\leq N \end{align}$
按信号长度缩放

我的同伴通常将数据缩放在处理后立即生效。（在缩放之前，我们不考虑原始数据。） $\small \frac{1}{N}$ fft
fft
```
%%执行

X_f = fft（x，n_sample，1）/ n_sample; 
必须通过数据中的样本数量对％fft进行归一化。
％此约定由软件开发人员（Mathworks）设置。
```
它是否正确？
1. 如果是这样，为什么MATLAB ifft函数期望我们尚未按比例缩放？ $1/N$
2. 是否存在ifft不能自动按缩放的MATLAB 函数或函数选项？ $1/N$
或者，在放置是否应使用更好的约定？例如，将放在而不是，或将 $1/N$ $1/N$ fftifft在两个方程中都为，而不是？ $1/\sqrt{N}$ $1/N$
按采样周期缩放

我听说fftand ifft函数假定采样周期，并且要使这些函数为真，以下内容需要应用： $T_{\rm sampling} = 1/f_{\rm sampling} = 1$

\begin{aligned} X [k] & = \frac{1}{T_{s a m p l i n g}} \cdot \sum_{n = 1}^{N} x [n] \cdot e^{\frac{- j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq k \leq N \\ x [n] & = \frac{T_{s a m p l i n g}}{N} \cdot \sum_{k = 1}^{N} X [k] \cdot e^{\frac{+ j \cdot 2 π \cdot (k - 1) \cdot (n - 1)}{N}}, where 1 \leq n \leq N \end{aligned}

$\begin{align} X[k] &= \frac{1}{T_{\rm sampling}} \cdot \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \leq k \leq N\\ x[n] &= \frac{T_{\rm sampling}}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad\textrm{where}\quad 1 \leq n \leq N \end{align}$

查看链接：

链接1（请参阅Seis博士对Matt Szelistowski的评论）
链接2（请参见里克·罗森与塞斯博士的回答）
链接3（请参见Matt的评论（消息：7/16）和Poorya的评论（14/16）
链接4（请参阅第10页，幻灯片[1,1]）
链接5（请参阅第8 + 9页）[似乎他对fft和ifft使用了逆约定]。

这是真的？

我特别激动，因为我在维基百科上找不到任何包含采样周期的DFT或DTFT方程。

matlab fft ifft

— 关多
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2

顺便说一句，kando只是按原样说明（使用MATLAB）：

但我不得不说，MATLAB的此硬连线惯例加入DC到仓＃1（或频率分量的振幅

到仓

）驱动器箱他妈的Nutz的!!!!

\begin{aligned} X [k] & = \sum_{n = 1}^{N} x [n] \cdot e^{\frac{- j 2 π (k - 1) (n - 1)}{N}}, where 1 \leq k \leq N \\ x [n] & = \frac{1}{N} \cdot \sum_{k = 1}^{N} X [k] \cdot e^{\frac{+ j 2 π (k - 1) (n - 1)}{N}}, where 1 \leq n \leq N \end{aligned}

$\begin{align} X[k] &= \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi (k-1)(n-1)}{N}}, \quad\textrm{where}\quad 1\le k\le N\\ x[n] &= \frac{1}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j 2 \pi (k-1)(n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \le n\le N \end{align}$

k

$k$

k + 1

$k+1$

— 罗伯特·布里斯托

6

是否将前向FFT缩放1 / N，取决于您要进一步分析的结果：能量（保留Parseval的身份）或幅度（测量高度或伏特等）。

如果要测量或分析能量，则不要按1 / N进行缩放，而相同幅度的较长正弦波将产生较大的FFT结果，与较长信号的较大能量成正比。

稍微更普遍一点，如果要测量或分析幅度，则要获得更长的正弦波（因此在完全相同的幅度下具有更多的总能量）以产生与较短信号大致相同的FFT结果，则需要按比例缩小FFT求和的比例与长度成正比。该比率可以是reference_length / N，如果您选择用于进一步分析的任何维度或单位（包括时间间隔维度）的系统输入增益为1.0，则有时为1 / N。您需要按比例缩小比例，因为DFT是求和：对相似项求和的次数越多，结果就越大。

所以。能量或振幅。你要哪个？

现在，如果按比例缩小前向FFT，则不应按比例缩小，以免IFFT（FFT（x））== x。或反之亦然。

在我看来，用于缩放的1 / sqrt（N）似乎是用于以下情况：需要某种形式的对称性以求证明，或者是在构建某种硬件流水线时，其中DFT和IDFT必须相同。但是，对于任何典型类型的工程分析，都无法很好地直接测量能量或振幅。

— hotpaw2
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当您说“如果要测量能量，则不要按

缩放” ...我不需要按

缩放

1 / N

$1/N$

以便变换是单一的并保留能量？还是因为我需要对整个信号求平方才能获得有效产生

的能量？但是，如果这是真的，频谱按

缩放的比例是多少

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt N$

1 / N

$1/N$

真的给我看吗？

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt N$

— LCsa

另外，当说“因此，在相同的振幅下具有更多的能量”时，您是不是要说“频率”？

— LCsa

7

Matlab使用的缩放惯例在DSP中很常见。您也可以使用单一DFT，其中DFT和IDFT都按比例缩放 $1/\sqrt{N}$ $1/N$ $1$

必须通过数据中的样本数量对％fft进行归一化。
％此约定由软件开发人员（Mathworks）设置。

是错的。没有人说您必须标准化FFT的结果。如果您愿意，您可以自由地这样做。

$T$ $T$

\begin{matrix} (1) & X (\frac{2 π k}{N T}) \approx T \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n T) e^{- j 2 π k n / N}, 0 \leq k < N \end{matrix}

$X\left(\frac{2\pi k}{NT}\right)\approx T\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-j2\pi kn/N},\quad 0\le k< N\tag{1}$

$T$ $N$ $x(t)$ $X(\omega)$ $(1)$ $N$ $x(t)$ $T$ $x(t)$ $t\in [0,NT]$ 。在此答案中，可以找到有关使用DFT近似连续时间傅立叶变换的更多详细信息。

— 马特·L。
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2

什么是反对票？请评论。

— 马特·L。

1

我通常以无记名投票的方式投票，但是这次我将作例外。取决于人们对DFT所做的事情，肯定有比其他更好的约定。（但没有惯例是比别人更好的所有情况。）

— 罗伯特·布里斯托-约翰逊

5

特别是由于这是一个关于约定的问题，因此我不会加强MATLAB的荒谬约定，只会回答正确和适当的约定。即MATLAB对DFT的索引是不正确的，但是我对这三种常见的缩放约定中的哪一个相当不可知。

$0 \le n < N$ $0 \le k < N$ $x[n]$ $N$ $X[k]$ $N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \quad\quad \forall \ n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \quad\quad \forall \ k \in \mathbb{Z}$

$x[n]$ $X[k]$

h [n] ⊛ x [n] ≜ \sum_{i = 0}^{N - 1} h [i] x [n - i] = \sum_{i = 0}^{N - 1} x [i] h [n - i]

$h[n] \circledast x[n] \triangleq \sum_{i=0}^{N-1} h[i] x[n-i] = \sum_{i=0}^{N-1} x[i] h[n-i]$

W [k] ⊛ X [k] ≜ \sum_{i = 0}^{N - 1} W [i] X [k - i] = \sum_{i = 0}^{N - 1} X [i] W [k - i]

$W[k] \circledast X[k] \triangleq \sum_{i=0}^{N-1} W[i] X[k-i] = \sum_{i=0}^{N-1} X[i] W[k-i]$

因此，一个约定优于另一个约定（假定两个约定均有效）的唯一优势可以在于简化某些定理的表达。

DFT最常见的缩放惯例：

\begin{aligned} D F T {x [n]} & ≜ X [k] ≜ \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ i D F T {X [k]} & ≜ x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π k n / N} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] \triangleq \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$

关于“时域”中的循环卷积具有简单性的优点

D F T {h [n] ⊛ x [n]} = H [k] \cdot X [k]

$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = H[k] \cdot X[k]$

但是如果您在“频域”中卷积，则有一个比例因子需要担心：

i D F T {W [k] ⊛ X [k]} = \frac{1}{N} \cdot w [n] \cdot x [n]

$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = \frac{1}{N} \cdot w[n] \cdot x[n]$

Parseval定理也有一个比例因子值得担心。

\sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2}

$\sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$

和对偶定理：

D F T {X [n]} = N \cdot x [- k]

$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = N \cdot x[-k]$

i D F T {x [k]} = \frac{1}{N} \cdot X [- n]

$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = \frac{1}{N} \cdot X[-n]$

DFT的另一个常见缩放惯例：

\begin{aligned} i D F T {X [k]} & ≜ x [n] ≜ \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π k n / N} \\ D F T {x [n]} & ≜ X [k] = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] \triangleq \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$

$e^{j \omega_k n} \triangleq e^{j (2\pi k/N) n}$ $X[k]$ $x[n]$ $k$ $N$ $A$ $\Big|X[k]\Big| = \Big|X[-k]\Big| = \Big|X[N-k]\Big| = \frac{A}{2}$

关于频域中的循环卷积，它也更加简单

i D F T {W [k] ⊛ X [k]} = w [n] \cdot x [n]

$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = w[n] \cdot x[n]$

但是如果您在时域中卷积，则有一个比例因子需要担心：

D F T {h [n] ⊛ x [n]} = \frac{1}{N} \cdot H [k] \cdot X [k]

$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = \frac{1}{N} \cdot H[k] \cdot X[k]$

Parseval定理也有一个比例因子值得担心。

\frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2}

$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$

和对偶定理：

D F T {X [n]} = \frac{1}{N} \cdot x [- k]

$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = \frac{1}{N} \cdot x[-k]$

i D F T {x [k]} = N \cdot X [- n]

$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = N \cdot X[-n]$

DFT 的单一缩放惯例在缩放方面与其逆缩放相同，并在整个变换或逆变换中保留能量：

\begin{aligned} D F T {x [n]} & ≜ X [k] ≜ \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ i D F T {X [k]} & ≜ x [n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π k n / N} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] \triangleq \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$

时域或频域中的卷积具有相同的缩放因子，可担心：

D F T {h [n] ⊛ x [n]} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot H [k] \cdot X [k]

$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot H[k] \cdot X[k]$

i D F T {W [k] ⊛ X [k]} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot w [n] \cdot x [n]

$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot w[n] \cdot x[n]$

但是Parseval定理没有缩放因子需要担心。

\sum_{n = 0}^{N - 1} | x [n] |^{2} = \sum_{k = 0}^{N - 1} | X [k] |^{2}

$\sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$

对偶定理也不：

D F T {X [n]} = x [- k]

$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = x[-k]$

i D F T {x [k]} = X [- n]

$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = X[-n]$

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
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在谈论DFT约定时，通常只涉及缩放因子，而不涉及没有索引问题。如果您以为那是通用的DSP约定，而您以为我是在指索引，那是一种误解。我当然提到了缩放。索引是完全不相关的，因为它与DFT 的定义无关（并且与缩放无关）。

— Matt L.

当您在MATLAB中使用该max(abs(X))函数查找光谱峰的位置并且忘记1从返回的索引中减去并要对其进行数学运算时，这不是他妈的“非问题” 。这是一个问题。对此感到难过。标引原点与“ DFT的定义 ”和缩放一样重要。它与是否需要簿记有关。

— 罗伯特·布里斯托

可能是我，但是这次不是:)但是，尽管如此，我还是不同意您对索引的重视，但是我很欣赏那是个人的。同样，请不要犹豫，因为我感谢您投入时间进行回答。

— Matt L.