如果频率分辨率良好，为什么在零填充后DFT中会有频率泄漏？

让我们考虑这个例子：

Fs=1000; 
Ns=500;
t=0:1/Fs:(Ns-1)*1/Fs;
f1=10;
f2=400;
x=5+5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t);
X=fft(x);

在这种情况下，频率分辨率为2，并且正确捕获了所有频率分量。但是，如果我这样做：

  X=fft(x,1000);

频率分辨率为1，但存在频谱泄漏。在这里看到类似的效果。在我看来，两个窗口的傅立叶变换（一个长度为500，一个长度为1000）在信号中显示的频率处为零，所以我不明白为什么会发生泄漏？

这种现象与频谱泄漏无关。您正在观察的是零填充的效果。给定样本的数量$N$，有最大可能的频率分辨率 $\Delta f$能够实现：

在你的情况$\Delta f$正好是$2\;\mathrm{Hz}$。如果您将信号调零，则没有其他信息可检索-您只会减小频率间隔。

在上面的示例中，将$N$增加到$1000$，频率间隔为$1\;\mathrm{Hz}$。所有额外的观察样本仅仅是插值，由窗函数来完成（$\mathrm{sinc}$你的情况）。您将开始观察窗谱的旁瓣。既然你隐含矩形窗口乘以你的信号，这将导致你的信号与频谱（二狄拉克+ DC）的卷积$\mathrm{sinc}$功能。

另一种方式来看待它是想象DFT基本上是一个滤波器组，组成的移动$\mathrm{sinc}$功能。那些以这样的方式对齐，即1的峰值是所有其余1的零出现的位置。如果您开始在这些零之间寻找，则将开始获取这些样本。这里是这样的示例曲线$\mathrm{sinc}$滤波器组。

$\mathrm{sinc}$$0$$\mathrm{sinc}$

$N=1000$$N=10000$

放大部分：

注意事项：

• $N=500$

• 我们还可以在最底部观察到FFT噪声。

• $N=10000$$\mathrm{sinc}$

很明显，用于重现结果的代码：

Fs=1000; 
Ns=500;
Ns2=1000;
Ns3=10000;
t=0:1/Fs:(Ns-1)*1/Fs;
f1=10;
f2=400;
x=5+5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t);

X1 = abs(fft(x))/length(x);
X2 = abs(fft(x, Ns2))/Ns;
X3 = abs(fft(x, Ns3))/Ns;

F1 = 0:Fs/Ns:Fs-Fs/Ns;
F2 = 0:Fs/Ns2:Fs-Fs/Ns2;
F3 = 0:Fs/Ns3:Fs-Fs/Ns3;

plot(F1, 20*log10(X1))
hold on
plot(F2, 20*log10(X2))
plot(F3, 20*log10(X3))
xlim([0, Fs/2])
grid on
legend({'N=500', 'N=1000', 'N=10000'})

频谱泄漏通常是Sinc卷积效应或其他域中矩形窗（在您的情况下为t或时间）的伪影。零填充是通过将矩形窗口（这是您的原始非零填充数据）添加到较长的FFT来完成的。

您的假设FT应该为零，但只有一个频率，这通常是错误的。任何有限长度（且非零）的信号将具有无限范围的非零频谱。在DFT / FFT结果中，仅对于纯正弦波而言，频谱的无限范围（Sinc形或其他Windows的变换）将碰巧不可见，而不是跨越整个FFT宽度，并且在该宽度上具有确切的整数周期性。零填充不允许这样做。

泄漏是由于有限长度的窗口而引起的，实际上您经常会遇到这种情况。但是，如果正弦分量的周期数正好是整数，则FFT固有的周期化就好像正弦是“无穷大”一样，其频率恰好落在离散化的区间上。因此，由于纯粹的运气，泄漏以某种方式消除了：如果您提前知道信号的周期，则无需使用傅立叶工具进行分析。

使用零填充时，您不再拥有纯正弦。都不具有非整数周期的多个窗口。您正在串联在窗口边界处发生突变的一系列正弦波。因此，整个周期信号不再是“无限正弦”。因此，您可以获得与泄漏同化的效果，但这是零填充效果，正如@jojek完美解释的那样。