频域零填充-X [N / 2]的特殊处理

假设我们希望通过频域中的零填充对偶数个样本（例如N = 8）的周期信号进行插值。

X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
现在让我们将DFT 填充到16个样本中Y。我看到的每个教科书示例和在线教程在给出时都会插入零。 （然后是插值信号。）[Y4...Y11]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

为什么不改为使用 Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]？

据我所知（我的数学知识有限）：

• 它使总功率最小化
• 它确保如果x是实值，那么也是如此y
• y仍按要求x在所有采样点处相交（我认为这适用于任何p地方Y=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H]）

那么为什么从来没有这样做呢？

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编辑：x不一定是实数值或带限制的。

让我们看一下8点DFT中bin的频率：

因此，当你以2的因子内插，点è的频率变-π或+π。

$$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$$ $E$$-\pi$$+ \pi$

乍一看，我不清楚您的方法有什么问题，因为目前尚不清楚 $E$$\pi$$-\pi$

在Julius O. Smith III的页面上，他陈述了一个条件：

此外，我们要求$x(N/2) = x(-N/2) = 0$$N$

$N$

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不确定是否需要它，但是这里是Julius工作的完整参考：

Smith，《带有音频应用的离散傅里叶变换（DFT）的数学》，第二版， http：//ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/，2007年，在线图书，2011年9月28日访问。

有许多种插值数据的方法。我认为插值法意味着您在某些数据点之间“画线”。这可以通过多种方式完成。在DSP（特别是在多速率DSP）中有用的一种插值类型是“带限插值”。如果您用google搜索，将会获得许多有趣和有用的点击。您建议的不是带限插值。在“上采样” x中，原始x中不存在频率分量。

编辑（太长，无法放入评论）：

从开始，您的构造之间有很大的不同$X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$您提供的参考中的示例。

考虑实际输入

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

全频带输入的上采样倍数为2。在这种情况下的上采样可通过第一载置零在交织的输入（即进行$x_0,0,x_1,0,...$$0-\pi/2$$\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

$\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

在实践中，尽管会有些失真，因为砖墙过滤器不现实。实用的滤波器可以抑制/消除输入中的频率，或者可以留在上采样信号中图像中的某些频率分量中。否则过滤器可能会在两者之间做出折衷。我认为您的频域构造也反映了这种折衷。这两个示例代表两个不同的选择：

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

如果输入的带宽限制在奈奎斯特频率以下，如您的参考文献所述，此问题将消失。

$\rho$

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$