压缩感测中是否有信号稀疏性的替代表征

压缩感测（CS）的初始假设是基础信号在某种程度上是稀疏的，例如，对于$s$稀疏信号，存在最大非零傅立叶系数 。现实生活中的经验确实表明，所考虑的信号通常很少。

问题是-给定信号，然后再将压缩采样的比特发送给接收器，并让其恢复到最佳状态，是否有办法说明其稀疏性，以及是否适合压缩首先感应？

或者，是否有其他稀疏性的其他/替代特征可以快速告诉我们CS是否有用。可以很容易地看出，发送方可以完全按照接收方随机选择的一组测量结果来做，然后尝试找出答案。但是，有没有其他方法可以解决这个问题呢？

我怀疑这样的东西一定已经研究过了，但是我找不到很好的指针。

注意：几周前，我曾在Mathoverflow中发布了此问题，但没有得到任何答案。因此，交叉岗位。

确实，有一些方法可以在采集设备上估计稀疏性或信息内容。这样做的细节，实用性和实际有用性值得商de，并在很大程度上取决于其应用的环境。在成像的情况下，可以确定在预定基础上或多或少可压缩的图像区域。例如，参见Yu等人的“基于显着性的图像信号压缩采样”。在这种情况下，对采集设备的额外复杂性要求会带来边际收益。

关于在获取时确定给定信号对压缩感知的有用性的问题：如果所讨论的信号遵循先验已知的任何模型，则可以进行压缩感知。准确的恢复仅取决于所进行的测量的次数与采样信号与模型的附着程度之间的比率。如果模型不好，您将无法摆脱相变。如果它是一个好的模型，那么您将能够计算出原始信号的准确重构。此外，压缩传感测量通常可以在将来进行验证。如果您给定的信号测量数量不足以使用您今天使用的模型来准确恢复原始信号，那么明天仍然有可能设计出更好的模型，这些测量足以进行精确恢复。

附加说明（编辑）： 您的问题中提到的获取方法听起来与自适应压缩感测非常接近，因此我认为以下内容可能对该问题的读者感兴趣。Arias-Castro，Candes和Davenport的最新结果表明，从理论上讲，自适应测量策略无法比非自适应（即盲目）压缩传感技术提供任何明显的收益。我请读者参考他们的工作，“关于自适应传感的基本限制”，该工作将很快出现在ITIT中。

一种实用的方法是通过选择一些字典来检查您感兴趣的信号，以判断它们中的任何一个是否稀疏。您实际上不必执行接收器将要执行的操作，即压缩和重构信号，以查看特定词典中的信号是否稀疏。您可以对其应用线性变换，并检查变换后的向量是否稀疏。如果是这样，逆变换就是您的字典。所谓稀疏，是指计算向量中非零或不可忽略系数的数量。例如，计算信号的DFT。如果它的频域表示结果很稀疏（足够），则可以使用逆DFT作为字典。如果变换是不可逆的，例如宽矩阵，则变换不是那么简单，但它仍可用于帧。

关于稀疏性的替代方案，endolith提到了一些尝试将“简单性”推广到不仅仅是稀疏性。此外，还有：

1. 低等级：用于矩阵完成，这是压缩感测的一种矩阵概括。例如，参见通过凸优化的精确矩阵补全和Candès等人的新论文。
2. “ k-简单性”：向量不是完全稀疏的；它们的大多数条目是a或b，并且其中一些（k）在两者之间。例如，这在Donoho＆Tanner的“精确的欠采样定理”（示例3）中进行了描述。

$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$