三次样条插值何时比插值多项式好？

下图是教科书中一个示例的细微变化。作者使用此示例说明，在等距样本上的插值多项​​式在插值间隔的末端附近具有较大的振荡。当然，三次样条插值可在整个时间间隔内提供良好的近似值。多年来，我认为由于此处说明的原因，应避免在等距样本上进行高阶多项式插值。

但是，我最近发现了许多带限信号的示例，其中高阶插值多项式给出的逼近误差小于三次样条插值。通常，当采样率足够高时，插值多项式在整个插值间隔内会更准确。当样本以至少比信号的奈奎斯特频率大3倍的采样率均匀分布时，这似乎成立。此外，三次样条插值的优势随着（采样率）/（奈奎斯特频率）的增加而提高。

举例来说，我将三次样条插值与一个正弦波的内插多项式进行比较，该正弦波的奈奎斯特频率为2 Hz，采样率为6.5 Hz。在采样点之间，插值多项式看起来与实际信号完全相同。

下面，我比较两个近似中的误差。与第一个示例一样，多项式插值在采样间隔的开始和结束附近表现最差。但是，在整个采样间隔内，内插多项式的误差小于三次样条曲线。插值多项式在较小的时间间隔上进行插值时误差也较小。我发现了一个众所周知的事实吗？如果是这样，我在哪里可以读到它？

所讨论的现象是朗格现象。

$n$$\sin(\omega t)$$\omega^n$ $\frac{1}{25t^2+1}$$n$$5^nn!,$$n!$$n$$n$

如果一个函数只有连续的导数，则竞争方法，即分段多项式样条插值法，如果在感兴趣的区间内有固定数量的早期导数，则总是收敛，请参见维基百科有关线性插值的文章作为示例。

如果这两种方法都收敛，那么（如果使用许多样本的话）（非逐段）多项式插值法具有较高的多项式次数优势，并且可以提供更好的近似值，如您在正弦示例中所看到的。您可能也有兴趣在LN Trefethen，两个结果多项式插值等距点，杂志逼近理论的 第65卷，第3期，1991年6月，页247-260。引用：

$e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$$0$$n \to \infty$$\alpha$

每个波长有6.5个样本。