负频率的物理意义是什么？

这是我对切达干酪了解DSP时遇到的难题之一，那么对负频率的物理解释是什么？

如果您在某个频率上有一个物理音调并且是DFT，那么您会在正负两个频率上都得到结果-为什么以及如何发生？这是什么意思？

编辑：2011年10月18日。我提供了自己的答案，但问题扩展到包括为何必须存在负频率的根源。

负频率对于正弦波没有多大意义，但是傅立叶变换不会将信号分解为正弦波，而是将其分解为复指数（也称为“复正弦波”或“ cisoid s”）：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$$

这些实际上是螺旋，在复杂平面中旋转：

（资料来源：理查德·里昂（Richard Lyons））

螺旋可以是左旋或右旋（顺时针或逆时针旋转），这就是负频率的概念。您也可以将其视为相角随时间前进或后退。

在实信号的情况下，总是存在两个等幅的复指数，它们以相反的方向旋转，以使它们的实部合并而虚部相抵消，结果仅留下一个正弦波。这就是正弦波频谱始终具有2个尖峰，一个正频率和一个负频率的原因。根据两个螺旋的相位，它们可能会抵消，从而留下纯正弦波，纯余弦波或纯正弦波等。

负频率分量和正频率分量都是产生真实信号所必需的，但是如果您已经知道它是真实信号，频谱的另一端不会提供任何额外的信息，因此它通常是手动挥舞而被忽略的。对于复杂信号的一般情况，您需要了解频谱的两侧。

假设您有一个纺车。您如何描述旋转的速度？您可能会说它以X每分钟转数（rpm）旋转。现在，您如何向这个方向传递数字呢？X如果顺时针或逆时针旋转，则转速相同。因此，您挠着头说，哦，好吧，这是一个聪明的主意：我将使用的约定+X来表示它是顺时针旋转和-X逆时针旋转。瞧！您发明了负转速！

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负频率与上述简单示例相同。从纯音正弦波的傅里叶变换可以看出，如何出现负频率的简单数学解释。

考虑复杂正弦曲线的傅立叶变换对：（忽略常数乘项）。对于纯正弦曲线（真实），我们从欧拉关系式中得出：$e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

$$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$$

因此，其傅立叶变换对（再次忽略常数乘数）：

$$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$$

您可以看到它有两个频率：按照定义，在处为正频率，在处为负频率！的复正弦曲线被广泛使用，因为它在简化我们的数学计算中非常有用。但是，它只有一个频率，实际的正弦波实际上有两个频率。$\omega_0$$-\omega_0$$ae^{\jmath \omega_0 t}$

目前，我的观点（可能会发生变化）如下

对于正弦重复，只有正频率才有意义。物理解释很清楚。对于复杂的指数重复，正负频率都是有意义的。可以将物理解释附加到负频率。负频率的物理解释与重复方向有关。

维基上提供的频率定义是：“频率是每单位时间重复事件的发生次数”

如果坚持这个定义，则负频率是没有意义的，因此没有物理解释。但是，对于复杂的指数重复，频率的定义还不够彻底，而指数重复也可能具有方向。

在进行信号或系统分析时，始终使用负频率。其根本原因是欧拉公式以及复指数是LTI系统的本征函数的事实。

$$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$$

通常正弦曲线重复是令人感兴趣的，并且通常使用复指数重复间接地获得正弦曲线重复。通过考虑使用复杂指数（例如写的傅立叶表示，可以很容易看出两者之间的相关性

$$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$$

但是，这等效于

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$$

因此，不是考虑正的“正弦频率轴”，而是考虑了负的和正的“复指数频率轴”。在“复指数频率轴”上，对于实信号，众所周知，负频率部分是多余的，仅考虑正“复指数频率轴”。在隐式地执行此步骤时，我们知道频率轴表示复指数重复而不是正弦重复。

复指数重复是在复平面上的圆形旋转。为了创建正弦曲线重复，需要进行两个复杂的指数重复，一个顺时针重复，一个逆时针重复。如果构造的物理设备产生的正弦曲线重复是受复杂平面中正弦曲线重复的产生方式启发的，也就是说，通过两个沿相反方向旋转的物理旋转设备，那么一个旋转设备可以说是负数。频率，因此负频率具有物理解释。

在许多常见的应用中，负频率根本没有直接的物理意义。考虑在某些电路中具有电阻器，电容器和电感器的输入和输出电压的情况。仅存在一个频率的实际输入电压，而具有相同频率但幅度和相位不同的单个输出电压。

在这点上考虑复杂信号，复杂傅立叶变换和相量数学的唯一原因是数学上的方便。使用完全真实的数学也可以做到，但是要困难得多。

有不同类型的时间/频率变换。傅立叶变换使用复数指数作为其基函数，并将其应用于单个实值正弦波时会产生两个值的结果，该结果被解释为正频率和负频率。还有其他变换（例如离散余弦变换）根本不会产生任何负频率。再说一次，这是数学上的方便。傅立叶变换通常是解决特定问题的最快，最有效的方法。

您应该研究傅立叶变换或级数以了解负频率。的确，傅立叶表明我们可以使用一些正弦波显示所有波。每个正弦波可以在该波的频率处显示两个峰值，一个在正侧，一个在负侧。因此理论上的原因很明确。但是出于物理原因，我经常看到人们说负频率只是数学意义。但是我想我不太确定是一种物理解释。当您将圆周运动作为讨论波浪的主要原理进行研究时，半圆上的运动速度方向与另一半相反。这可能就是为什么每个正弦波在频域的两侧都有两个峰值的原因。

负距离是什么意思？一种可能是连续性，因此您不必在每次穿越赤道时都将地球翻转过来，而想要用连续的一阶导数绘制北位置。

与频率相同，当您可能执行诸如调频调制之类的工作时，调制范围要比载波频率宽。您将如何绘制？

解决问题的一种简单方法是对驻波成像。驻波（在时域中）可以表示为两个相对移动的行波之和（在频域中具有正和负k矢量，或者等价于+ w和-w）。这就是为什么您在FFT中有两个频率分量的答案。FFT基本上是许多这样的反向传播波的总和（卷积），它们在时域中表示您的功能。

过去通常是为了获得正确的功率答案，因此必须将答案加倍。但是，如果您从负无穷大积分到正无穷大积分，您将获得正确的答案，而不会出现任意的两倍。所以他们说一定有负面的频率。但是没有人真正找到过它们。因此，它们是虚构的，或者至少从物理的角度无法解释。

事实证明，这是一个非常热门的话题。

在阅读了许多好的和多样化的观点和解释之后，让这个问题在我的脑海中浮现了一段时间，我相信我对负频率现象有了一个物理上的解释。我相信这里的关键解释是傅立叶对时间不了解。进一步扩展：

关于频率的“方向”已有很多讨论，因此，它可以是+ ve或-ve的方式。虽然作者的总体见解说这并没有丢失，但是该陈述与时间频率的定义不一致，因此首先我们必须非常仔细地定义术语。例如：

• 距离是一个标量（只能是+ ve），而位移是一个向量。（即，具有方向，可以为+ ve或-ve来说明标题）。

• 速度是一个标量（只能是+ ve），而速度是一个向量。（即再次指明方向，可以是+ ve或-ve）。

因此，以同样的理由，

• 时间频率是一个标量，（只能是+ ve）！频率定义为每单位时间的循环数。如果这是公认的定义，我们不能简单地说它正在朝着“不同的方向”发展。毕竟是标量。相反，我们必须定义一个新术语-频率的向量等效项。也许“角频率”在这里是正确的术语，实际上，这正是数字频率所测量的。

现在，突然之间，我们开始测量每单位时间的转数（可以表示方向的矢量），而VS只是一些物理振荡的转数。

因此，当我们询问负频率的物理解释，我们也含蓄地询问如何标量和在海滩上每如潮一些物理现象的单位时间振荡的许多非常实在的措施，正弦交流电流通过电线，映射到这个角频率，现在所有突然发生的事情都是顺时针或逆时针方向的。

从这里开始，要对负频率进行物理解释，需要注意两个事实。第一个是如Fourier所指出的，可以通过将两个具有矢量角频率+ w和-w的振荡复音相加来构造具有标量时间频率f的振荡实音 。

$$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$$

那太好了，那又如何呢？好吧，复杂的音调在彼此相反的方向上旋转。（另请参阅塞巴斯蒂安的评论）。但是，赋予我们角频率矢量状态的“方向”的意义是什么？旋转方向上反映了什么物理量？答案是时间。在第一个复音中，时间沿+ ve方向传播，在第二个复音中，时间沿-ve方向传播。时间在倒退。

牢记这一点，并迅速转移注意力以回想一下，时间频率是相位相对于时间的一阶导数（仅仅是相位随时间的变化），所有事情都开始到位：

负频率的物理解释如下：

我的第一个认识是傅里叶与时间无关。也就是说，如果您考虑一下，傅立叶分析或变换本身都没有什么可以告诉您时间的“方向”是什么。现在，想象一个物理振荡系统（即，一个真实的正弦波，例如，通过电线的电流），它以某个标量时间频率f振荡。

想象一下，随着时间的推移，在时间的前进方向上“俯视”这波浪。现在，假设您在进一步发展的每个时间点计算其相位差。这将为您提供标量时间频率，并且您的频率为正。到现在为止还挺好。

但是请稍等-如果傅立叶对时间视而不见，那为什么只考虑您在“前进”时间方向上的波动呢？时间方向没有什么特别的。因此，通过对称，还必须考虑其他时间方向。因此，现在想象一下在同一波上“向上看”（即，时间倒退），并且还执行相同的增量相位计算。由于时间现在在倒退，并且您的频率是相位变化/（负时间），因此您的频率现在将为负！

什么傅立叶实际上是说，是这个信号有能量，如果在频率区间F IN时间玩前锋，但也能起到如果向后的频率仓-f的时间虽然。从某种意义上说，它必须这样说是因为傅立叶无法“知道”时间的“真正”方向！

那么傅立叶如何捕获呢？好吧，为了显示时间的方向，必须进行某种旋转可以使顺时针旋转将信号“看”在时间的前向箭头中，逆时针旋转将信号“看”在信号中，仿佛时间在向后移动。现在我们都熟悉的标量时间频率应该等于矢量角频率的（比例）绝对值。但是，一个表示正弦波位移的点如何在一个周期之后到达其起点，却同时绕一个圆旋转并保持其表示的时间频率的表现呢？仅当该圆的主轴由测量该点相对于原始正弦曲线的位移而组成，并且正弦曲线偏离90度时才可以。（这正是傅立叶在每次执行DFT时针对您的投影获取正弦和余弦基准的方式！）最后，我们如何使那些轴分开？“ j”保证了每个轴上的大小始终独立于另一个轴上的大小，因为不能在任何一个域中添加实数和虚数以产生新的数。（但这只是一个旁注）。

因此，总而言之：

傅立叶变换是时间不可知的。它不能说出时间的方向。这是负频率的核心。由于频率=相变/时间，因此，只要您对信号进行DFT，傅立叶就说，如果时间向前，您的能量位于+ ve频率轴上，但是如果时间向后，则您的能量为位于-ve频率轴上。

正如我们的宇宙以前所显示的，正是由于傅立叶不知道时间的方向，DFT的两侧必须对称，以及为什么负频率的存在是必要的，而且实际上是非常真实的。