稀疏性的确切度量是什么？

我目前正在研究信号的压缩感知和稀疏表示，特别是图像。

我经常被问到“稀疏定义是什么？”。我回答“如果信号的大多数元素在傅立叶或小波等域中为零或接近于零，则该信号在此基础上是稀疏的。” 但是此定义中始终存在一个问题，“大多数元素是什么意思？是90％？80％？92.86％？！” 这是我提出问题的地方，是否有稀疏的确切定义（即数值）？

“ 是否有稀疏性的确切定义（即数字）？ ”通过数字，我理解可计算的和实际上“可用的”。我的看法是：至少还没有达成共识，但仍有一些有价值的竞争者。第一个选项“ 仅计数非零项 ”是精确的，但是效率不高（对数值逼近和噪声敏感，并且优化起来非常复杂）。第二个选项“ 信号的大多数元素为零或接近零 ”在“最”和“接近”上都不太精确。

因此，在没有更多正式方面的情况下，“ 精确测量稀疏度 ”仍然难以捉摸。最近一次尝试定义稀疏性的尝试是在Hurley和Rickard，2009年比较稀疏性的措施，IEEE信息理论交易中进行的。

他们的想法是提供一套良好的稀疏性措施应实现的公理；例如，信号乘以非零常数 ，应具有相同的稀疏性。换句话说，稀疏性度量应该是均匀的。有趣的是，压缩感知或套索回归中的代理是 均匀的。即使每个规范或准规范确实都是这种情况，即使它们倾向于将（非稳健的）计数度量 设为。$x$$\alpha x$$0$$\ell_1$$1$$\ell_p$$\ell_0$$p\to 0$

因此，他们详细介绍了从财富分析中借用的六个公理，进行了计算：

• 罗宾汉（Robin Hood）（从富人手中夺取，而对穷人的奉献则减少了稀疏性），
• 缩放（常数乘法可保留稀疏性），
• 涨潮（添加相同的非零帐户会减少稀疏性），
• 克隆（复制数据可保留稀疏性），
• 比尔·盖茨（一个人变得更富有增加了稀疏性），
• 婴儿（添加零值会增加稀疏性）

并探究针对它们的已知措施，发现基尼指数和某些规范或准规范比率可能是不错的候选者（对于后者，Euclid的《出租车》$\ell_1/\ell_2$中提供了一些详细信息：平滑的正则化的稀疏盲反卷积），2005年，IEEE信号处理快报）。我认为应该进一步发展这项最初的工作（敬请关注SPOQ，在准规范/规范比率上平滑$p$$q$ $\ell_p/\ell_q$）。因为对于信号，，范数比不等式得出：$x$$0< p\le q$

当稀疏时趋向于（左侧，LHS），而当稀疏时趋向于右侧（RHS）。这项工作现在是预印本：SPOQ：适用于质谱的稀疏信号恢复的平滑p-Over-q正则化。但是，稀疏性的合理度量不能告诉您转换后的数据是否足够稀疏以达到您的目的。$1$$x$

最后，在压缩感测中使用的另一个概念是信号的可压缩性，其中重新排序（降序）的系数幅度遵循幂定律，并且越大，衰减越大。$c_{(k)}$$C_\alpha .(k)^{-\alpha}$$\alpha$