我想在100kHz，16位应用中进行噪声整形，以便将所有量化噪声转移到25khz-50kHz频带，而在DC-25kHz频带中噪声最小。

我通过增强学习来设置mathematica来创建一个31样本的误差滤波器内核，该内核工作得很好：经过一点学习，我可以在大约相同的低频频带减少量下获得大约16dB的高频噪声增强。中心线是未成形的抖动噪声水平）。这符合“ Gerzon-Craven”噪声整形定理。

现在我的问题：

尽管经过Gerzon-Craven定理并没有禁止它，但即使经过广泛学习，我也无法设法进一步消除噪声。例如，应该有可能在低频段实现40 dB的降低，在高频段实现40 dB的提高。

那么，我遇到了另一个基本限制吗？

我尝试研究香农噪声/采样/信息定理，但经过一段时间的摸索，我只能从中得出一个极限：格宗-克雷文定理，这似乎是香农定理的直接结果。

任何帮助表示赞赏。

编辑：更多信息

首先，产生上述噪声整形的滤波器内核，请注意，最新的示例在右侧。BarChart的数值四舍五入为0.01：{-0.16，0.51，-0.74，0.52，-0.04，-0.25，0.22，-0.11，-0.02，0.31，-0.56，0.45，-0.13，0.04，-0.14， 0.12，-0.06，0.19，-0.22，-0.15，0.4，0.01，-0.41，-0.1，0.84，-0.42，-0.81，0.91，0.75，-2.37，2.29}（不完全是条形炭，但会产生相似的曲线）

关于错误反馈实现的另一条注释：

我尝试了错误反馈的两种不同实现。首先，我将四舍五入的输出样本与所需值进行比较，并将此偏差用作误差。其次，我将舍入后的输出样本与（输入+错误反馈）进行了比较。尽管这两种方法产生的内核都完全不同，但两者似乎都在相同的噪声整形强度下趋于平稳。此处发布的数据使用第二种实现。

这是用于计算数字化波样本的代码。步骤是四舍五入的步骤大小。波形是未数字化的波形（通常在未施加信号时仅为零）。

TestWave[kernel_?VectorQ] := 
 Module[{k = kernel, nf, dith, signals, twave, deltas},
  nf = Length@k;
  dith = RandomVariate[TriangularDistribution[{-1, 1}*step], l];
  signals = deltas = Table[0, {l}];
  twave = wave;
  Do[
   twave[[i]] -= k.PadLeft[deltas[[;; i - 1]], nf];
   signals[[i]] = Round[twave[[i]] + dith[[i]], step];
   deltas[[i]] = signals[[i]] - twave[[i]];
   , {i, l}];
  signals
  ]

加固方法：

通过查看噪声功率谱来计算“分数”。目的是使DC-25kHz频带内的噪声功率最小。我不会惩罚高频带中的噪声，因此任意高噪声不会降低得分。我将噪声引入内核权重以进行学习。因此，也许我处于（非常广泛和深入的）本地最低要求，但是我认为这极不可能。

与标准过滤器设计的比较：

Mathematica允许迭代生成过滤器。当绘制频率响应时，它们的对比度比36 dB好得多。高达80-100 dB。数值：{0.024，-0.061，-0.048、0.38，-0.36，-0.808、2.09，-0.331，-4.796、6.142、3.918，-17.773、11.245、30.613，-87.072、113.676，-87.072、30.613、11.245 ，-17.773，3.918，6.142，-4.796，-0.331，2.09，-0.808，-0.36，0.38，-0.048，-0.061，0.024}

但是，当将它们应用于实际噪声整形时，它们（a）被钳制到相同的〜40dB对比度，（b）表现得比学习的滤波器差，实际上没有噪声衰减。

基本抖动而无噪声整形

没有噪声整形的基本抖动量化工作如下：

图1.基本的抖动量化系统图。噪声是零均值三角抖动，最大绝对值为1。四舍五入到最接近的整数。残留误差是输出和输入之间的差，仅计算用于分析。

$\frac{1}{12}$$\frac{1}{4}$

有了独立的附加残差，我们将拥有一个更简单的系统模型：

图2.基本抖动量化的近似值。残留误差是白噪声。

在近似模型中，输出只是输入加上独立的白噪声残留误差。

抖动与噪声整形

我不能很好地阅读Mathematica，所以我将分析Lipshitz 等人的系统，而不是您的系统。“ 微创可听噪声整形 ” J.音频主机。，1991年11月，第39卷，第11号，第：

图3. Lipshitz等。1991系统图（改编自他们的图1）。滤波器（在文本中以斜体显示）在其中包含一个采样延迟，因此可以将其用作错误反馈滤波器。噪声是三角抖动。

如果残留误差与信号A的当前值和过去值无关，那么我们有一个更简单的系统：

图4. Lipshitz等人的近似模型。1991年制。滤波器与图3相同，并且其中包括一个采样延迟。它不再用作反馈过滤器。残留误差是白噪声。

在这个答案中，我将使用更容易分析的近似模型（图4）。在原始的Lipshitz 等。在1991年的系统中，滤波器具有通用的无限冲激响应（IIR）滤波器形式，涵盖了IIR和有限冲激响应（FIR）滤波器。在下文中，我们将假定Filter是FIR滤波器，因为根据我对系数的实验，我相信这就是系统中的值。过滤器的传递函数为：

$$H_\mathit{Filter}(z) = -b_1z^{-1} - b_2z^{-2} - b_3z^{-3} - \ldots$$

$z^{-1}$

$$H(z) = 1 - H_\mathit{Filter}(z) = 1 + b_1z^{-1} + b_2z^{-2} + b_3z^{-3} + \ldots.$$

$\ldots, -b_3, -b_2, -b_1$$1, b_1, b_2, b_3, \ldots$$b_0 = 1$horzcat（在下面的Octave脚本中），最后列表被颠倒了（由flip）：

pkg load signal
b = [-0.16, 0.51, -0.74, 0.52, -0.04, -0.25, 0.22, -0.11, -0.02, 0.31, -0.56, 0.45, -0.13, 0.04, -0.14, 0.12, -0.06, 0.19, -0.22, -0.15, 0.4, 0.01, -0.41, -0.1, 0.84, -0.42, -0.81, 0.91, 0.75, -2.37, 2.29];
c = flip(horzcat(-b, 1));
freqz(c)
zplane(c)

该脚本绘制了幅度频率响应和完整噪声整形滤波器的零位置：

图5.完整噪声整形滤波器的幅频响应。

$\times$$\circ$

我认为寻找滤波器系数的问题可以重新设计为设计超前相位系数为1的最小相位滤波器的问题。如果此类滤波器的频率响应存在固有限制，则这些限制将转换为等效限制。使用此类滤波器的噪声整形。

从全极设计转换为最小相位FIR

Stojanović 等人（2002年）描述了设计不同但在许多方面等效的滤波器的过程。，“基于超球面多项式的全极递归数字滤波器设计”，无线电工程，第23卷，第3期，2014年9月。他们计算了IIR全极点低通滤波器的传递函数的分母系数。那些总的前导分母系数始终为1，并且所有极点都在单位圆内，这是稳定IIR滤波器的要求。如果将这些系数用作最小相位FIR噪声整形滤波器的系数，则与低通IIR滤波器相比，它们将给出反向的高通频率响应（传递函数的分母系数变成分子系数）。用您的记号表示，该文章中的一组系数为{-0.0076120, 0.0960380, -0.5454670, 1.8298040, -3.9884220, 5.8308660, -5.6495140, 3.3816780}，尽管它不完全符合规范，但可以针对噪声整形应用进行测试：

图7.使用Stojanović等人的系数得出的FIR滤波器的幅频响应。2014。

图8.使用Stojanović等人的系数的FIR滤波器的零极点图。2014。

全极点传递函数为：

$$H(z) = \frac{1}{1 + a_1z^{-1} + a_2z^{-2} + a_3z^{-3} + \ldots}$$

$a$$b$

要设计全极点滤波器并将其转换为最小相位FIR滤波器，您将无法使用IIR滤波器设计方法，该方法从模拟原型滤波器开始，并使用双线性变换将极点和零点映射到数字域中。这包括cheby1，cheby2和ellip在倍频和Python的SciPy的。这些方法将使z平面原点远离零，因此滤波器将不是必需的全极点类型。

回答理论问题

如果您不在乎在高于采样频率四分之一的频率处会产生多少噪声，则Lipshitz 等人。1991直接解决您的问题：

对于在整个频带的一部分变为零的这种加权函数，从图1的电路可获得的加权噪声功率降低没有理论上的限制。例如，如果假设耳朵在20 kHz和奈奎斯特频率之间的灵敏度为零，并选择加权函数来反映这一事实。

他们的图1显示了一个噪声整形器，该噪声整形器具有带有零极点和零点的通用IIR滤波器结构，与您当前具有的FIR结构不同，但是他们所说的内容也适用于此，因为FIR滤波器的脉冲响应可能是任意接近任何给定的稳定IIR滤波器的脉冲响应。

滤波器设计的八度脚本

$\nu=0$dip

pkg load signal
N = 14; #number of taps including leading tap with coefficient 1
att = 97.5; #dB attenuation of Dolph-Chebyshev window, must be positive
dip = 2; #spectrum lift-up multiplier, must be above 1
c = chebwin(N, att);
c = conv(c, c);
c /= sum(c);
c(N) += dip*10^(-att/10);
r = roots(c);
j = (abs(r(:)) <= 1);
r = r(j);
c = real(poly(r));
c .*= (-1).^(0:(N-1)); #if this complains, then root finding has probably failed
freqz(c)
zplane(c)
printf('%f, ', flip(-c(2:end))), printf('\n'); #tobalt's format

它以系数的Dolph-Chebyshev窗口开始，将其自身卷积以使传递函数零加倍，并向中间抽头添加一个“提升”频率响应的数字（考虑中间抽头为零时间），因此到处都是正数，找到零，删除单位圆之外的零，将零转换回系数（poly从来的领先系数始终为1），并翻转第二个系数的符号使滤波器高通。该脚本（较旧但几乎等效的版本）的结果看起来很有希望：

图9.以上脚本（较旧但几乎等效的版本）的滤波器的幅频响应。

图10.来自上述脚本（较旧但几乎等效的版本）的过滤器的零极点图。

表示法中来自上述脚本的系数（较旧，但几乎等效）{0.357662, -2.588396, 9.931419, -26.205448, 52.450624, -83.531276, 108.508775, -116.272581, 102.875781, -74.473956, 43.140431, -19.131434, 5.923468}。数字很​​大，可能导致数字问题。

八度实施噪声整形

最后，我在Octave中完成了噪声整形的实现，没有遇到像您一样遇到的问题。根据我们在评论中的讨论，我认为您的实现方式的局限性在于使用矩形窗口（也称为“无窗口” ）评估了噪声频谱，从而将高频频谱扩散到了低频。

pkg load signal
N = length(c);
M = 16384; #signal length
input = zeros(M, 1);#sin(0.01*(1:M))*127;
er = zeros(M, 1);
output = zeros(M, 1);
for i = 1:M
  A = input(i) + er(i);
  output(i) = round(A + rand() - rand());
  for j = 2:N
    if (i + j - 1 <= M)
      er(i + j - 1) += (output(i) - A)*c(j);
    endif
  endfor
endfor
pwelch(output, max(nuttallwin(1024), 0), 'semilogy');

图11.恒定零输入信号的噪声整形的上述八度实施中的量化噪声频谱分析。横轴：归一化频率。黑色：无噪声整形（c = [1];），红色：您的原始过滤器，蓝色：“滤波器设计的八度脚本”部分中的过滤器。

图12.以上八度实施噪声整形的时域输出，用于恒定零输入信号。横轴：样品编号，纵轴：样品值。红色：原始过滤器，蓝色：“用于过滤器设计的八度脚本”部分中的过滤器。

更加极端的噪声整形滤波器（蓝色）即使对于零输入也导致非常大的量化输出采样值。