两个信号的卷积的物理含义是什么？

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如果我们对2个信号进行卷积，则会得到第三个信号。第三信号相对于输入信号代表什么？

convolution

— j
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mathoverflow.net/questions/5892/what-is-convolution-intuitively

— Atul Ingle

1

只是“反向，移位，相乘和求和”而已。

— chaohuang 2012年

它在信号处理术语中具有“平均”的含义，这可能意味着去除高频成分。

— Giwrgos Rizeakos 2014年

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我一直在寻找解释卷积物理意义的资源已有一段时间，我终于在这里找到它：colah.github.io/posts/2014-07-Understanding-Convolutions

— faridghar

考虑任何物理或机械系统，则系统的输入为x（n），我们先定义的参数为h（n）。系统工作的功函数为y（N）= x（N）* h（N）例：将正弦波作为乘法器的输入通常，乘法器可与这么多的模拟电路配合使用，我们可以通过简单地改变来改变设备性能参数，然后我们传递的参数为h（n）

— user6151179

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卷积运算没有特别的“物理”含义。卷积在工程中的主要用途是描述线性时不变（LTI）系统的输出。LTI系统的输入输出行为可以通过其脉冲响应来表征，并且LTI系统针对任何输入信号可以表示为输入信号与系统的脉冲响应的卷积。 $x(t)$

即，如果将信号应用于具有脉冲响应的LTI系统，则输出信号为： $x(t)$ $h(t)$

y (t) = x (t) * h (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t - \tau)d\tau$

就像我说的，没有太多的物理解释，但是您可以将卷积定性地认为是根据冲激响应的形状以某种方式“抹掉” 存在的能量。。在工程水平上（严格的数学家不赞成），您可以通过更仔细地查看被积物本身的结构来获得一些见识。您可以将输出看作是无限数量的脉冲响应的总和，每个副本的偏移时间稍有不同（），并根据输入信号的值在的值进行缩放 $x(t)$ $h(t)$ $y(t)$ $\tau$ $t$ 对应于延迟：。 $x(\tau)$

这种解释类似于使离散时间卷积（在Atul Ingle的答案中讨论）达到无限短的采样周期的极限，这在数学上也不是完全正确的，但可以通过一种直观的方式直观地观察动作对于连续时间系统。

— 杰森·R
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被积数应为

x (τ) h (t - τ) .

$x(\tau) h(t-\tau).$

— Atul Ingle 2012年

1

但这不仅是将信号移位然后取输出总和，其中一个信号会先被反转而不像相关。如果信号中的一个是冲激响应，那就可以了，但是如果两个信号不同（如卷积2）怎么办？图片。

— 2012年

@ParagJain：实际上，它只是取了许多（实际上是无限数量）按比例缩放的脉冲响应之和。脉冲响应项

相对于时间变量

不反向。如前所述，对于互相关，脉冲响应参数内

上的符号变为

。不要紧是否

是一个真正的LTI系统与否的响应; 它可能是您建议的图像，也可能是与此相关的任何信号。卷积产生的拖尾动作是相同的，如此处的答案所述。

h (t - τ)

$h(t-\tau)$

t

$t$

τ

$\tau$

+

$+$

h (t)

$h(t)$

— 杰森R

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对于离散信号非常有用的一种特别有用的直观解释是将卷积视为“回波的加权总和”或“存储器的加权总和”。

暂时，假设具有传递函数的离散LTI系统的输入信号为增量脉冲。卷积为 $h(n)$ $\delta(n-k)$ 这只是传递函数的回波（或记忆），延迟为k个单位。

\begin{array}{rcl} y (n) & = & \sum_{m = - \infty}^{\infty} δ (m - k) h (n - m) \\ = & h (n - k) . \end{array}

$\begin{eqnarray} y(n) &=& \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(m-k) h(n-m) \\ &=& h(n-k). \end{eqnarray}$

现在将任意输入信号视为加权函数之和。然后，输出是h（n）的延迟版本的加权和。 $x(n)$ $\delta$

例如，如果，然后写入。 $x(n) = \{1, 2, 3\}$ $x(n) = \delta(n) + 2 \delta(n-1) + 3 \delta(n-2)$

系统输出是分别具有适当权重1、2和3 的回波，和的总和。 $h(n)$ $h(n-1)$ $h(n-2)$

因此。 $y(n) = h(n) + 2h(n-1)+3h(n-2)$

— 阿图尔·英格尔
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1

添加每个方程式的图形表示可能非常有帮助。视觉上看某些人（例如我自己）对卷积有更好的理解。

— PhilMacKay 2012年

1

@PhilMacKay有关离散卷积的图形表示形式（实际上是表格表示形式），请参见此答案。

— Dilip Sarwate 2015年

1

“回声”应真正由“记忆”代替。回忆过去的事情：普鲁斯特。

— 罗格斯'16

有关显示两个箱式汽车信号的卷积的图形表示，请参见blog.mbedded.ninja/programming/signal-processing/convolution

— gbmhunter

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理解卷积的一种直观的好方法是用点源查看卷积的结果。

例如，用哈勃太空望远镜有缺陷的光学器件对点进行2D卷积就可以创建此图像：

现在想象一下，如果图片中有两个（或更多）星星，会发生什么：您将以每个星星为中心两次（或更多）获得这种模式。图案的光度与恒星的光度有关。（请注意，星实际上始终是点源。）

这些图案基本上是点源与卷积图案的乘积，结果存储在像素中，这样当完整查看生成的图片时，它就可以再现图案。

我个人化卷积算法的方式是在源图像的每个像素上循环。在每个像素上，乘以卷积图案的值，然后将结果存储在相对位置与图案相对应的像素上。在每个像素上执行此操作（并在每个像素上求和结果），即可得到结果。

— 菲尔·麦凯
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$x(k)$ $k$ $x$

哪一个

$x(k)dk$

$dk$

$t$ $t-k$ $h(u)$ $u$ $t-k$ $k$ $h(t-k)$ $x(k)dk$ $x(k)h(t-k)dk$

因此，我们听到的音乐的整体效果将是所有影响的综合效果。从负无穷大到正无穷大。这就是所谓的卷积。

— 阿比拉什
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有趣的插图:)

— tomab '16

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您也可以将卷积视为一种信号在另一种信号上的拖尾/平滑。如果您有一个带有脉冲的信号和另一个（例如，单个方波）信号，则结果将是模糊或平滑的脉冲。

另一个例子是两个平方脉冲被卷积成扁平的梯形。

— 查兰
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4

如果使用镜头散焦的相机拍照，则结果是聚焦图像与散焦的点扩展功能卷积在一起。

一对骰子和的概率分布是单个骰子的概率分布的卷积。

长乘法是卷积，如果您不从一位到另一位携带。如果您翻转其中一个数字。与{9，4}卷积的{2，3，7}是{8，30，55，63}

      2   3   7
   X      4   9
---------------
     18  27  63 
  8  12  28
---------------
  8  30  55  63

（您可以通过将63中的“ 6”放入55中来完成乘法运算，依此类推。）

— 约翰·西摩
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在信号和系统中，卷积通常与输入信号和脉冲响应一起使用以获得输出信号（第三信号）。将卷积视为“过去输入的加权总和”会更容易，因为过去的信号也会影响当前的输出。

我不确定这是否是您要找的答案，但是最近我在上面制作了一个视频，因为它困扰了我很长时间。 https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s 这是一个简短的视频。请原谅我的英语笑。

— 李
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观察卷积的另一种方法是认为您有两件事：

数据-数量一定会因某些噪声而损坏-并且处于随机位置（在时间，空间上命名）
模式=有关信息外观的一些知识

DATA与PATTERN（镜像对称）的卷积是另一个评估-知道PATTERN-的可能性，它位于DATA中的每个位置。

从技术上讲，在每个位置上，该数量都是相关性（这是PATTERN的镜像），因此可以在某些一般假设（独立的高斯噪声）下测量对数似然性。卷积允许并行在每个位置（在空间，时间...中）进行计算。

— 梅杜兹
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2

$g$ $f$ $g*f$

— 希瓦尼·夏尔马
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2

物理含义是信号通过LTI系统！卷积定义为翻转（信号之一），移位，乘法和求和。我将解释每个人的直觉。

1.为什么我们翻转卷积信号之一，这是什么意思？

因为输入信号表示中的最后一点实际上是进入系统的第一个点（请注意时间轴）。卷积是为线性计时器不变系统定义的。这都与时间以及我们在数学中的表示方式有关。卷积有两个信号，一个代表输入信号，一个代表系统响应。因此，这里的第一个问题是系统响应的信号是什么？系统响应是在给定时间内系统的输出到给定时间t内只有一个非零元素的输入t（脉冲信号偏移了t）。

2.为什么信号逐点相乘？

再次，让我们参考系统响应信号的定义。如前所述，信号是通过移动脉冲函数t并绘制每个脉冲的输出而形成的t's。我们还可以将输入信号想象成具有不同幅度（比例）和相位的脉冲函数之和。好的，因此系统在任何给定时间内对输入信号的响应就是信号响应本身乘以（或缩放）在给定时间内输入的幅度。

3.转移是什么意思？

说了这些（1＆2）之后，执行平移以一次获取任何输入信号点的系统输出t。

希望对您有帮助！

— 萨姆
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$x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_1$

接下来是更长的“系统视图”：考虑点的理想（柏拉图主义）视野。销的头，很细，在空白处。您可以像Dirac（离散或连续）那样抽象它。

从远处看，或者像一个近视的人（就像我一样），它变得模糊。现在，想象一下重点也在盯着你。从“观点”的角度来看，您也可以是唯一的。该点也可以是近视的，并且两者之间的媒介（您和您之间的奇异点）可以是不透明的。

因此，卷积就像是困扰水的桥梁。我从没想过我可以在这里引用西蒙和加芬克尔。试图互相抓住的两种现象。结果是一个模糊，一个模糊，另一个模糊，对称。模糊不必相同。您的近视模糊与对象的模糊性均匀地结合在一起。这样的对称性使得如果对象的模糊性成为您的视线障碍，反之亦然，则整体模糊保持不变。如果其中一个是理想的，则另一个不变。如果可以清楚地看到，则可以看到对象的确切模糊度。如果对象是一个完美的点，则可以准确地衡量您的近视。

$\log$

您可以检查但是为什么？直觉数学：卷积

— 劳伦·杜瓦尔（Laurent Duval）
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在给定环境（房间，开放空间等）中，您听到声音的方式是音频信号与该环境的脉冲响应的卷积。

在这种情况下，脉冲响应代表环境的特征，例如音频反射，音频延迟和速度随温度而变化。

— VHampiholi
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重述答案：

对于信号处理，它是过去到现在的加权总和。通常，一项是滤波器输入端的电压历史，另一项是滤波器或具有“记忆”功能的滤波器。当然，在视频处理中，所有相邻像素都代替“过去”。

对于概率，它是一个事件与其他事件的交叉概率；在掷骰子中获得7的方法的数量是获得a的机会：6和1、3、4、2和5。即，概率之和P（2）乘以概率P（7-2）：P（ 7-2）P（2）+ P（7-1）* P（1）+ .....

— 恶棍
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卷积是组合两个信号以形成第三个信号的数学方法。这是DSP中最重要的技术之一……为什么？因为使用此数学运算，您可以提取系统脉冲响应。如果您不知道为什么系统脉冲响应很重要，请在http://www.dspguide.com/ch6.htm中阅读有关它的信息。使用脉冲分解策略，系统通过称为脉冲响应的信号进行描述。卷积很重要，因为它涉及到三个感兴趣的信号：输入信号，输出信号和脉冲响应。正如乘法，加法和积分一样，它是一种形式上的数学运算。加法取两个数字并产生第三个数字，而卷积需要两个信号并产生第三个信号。在线性系统中，使用卷积来描述三个感兴趣的信号之间的关系：输入信号，脉冲响应和输出信号（来自Steven W. Smith）。同样，这与脉冲响应的概念紧密相关，您需要阅读该概念。

— 法蒂里
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脉冲导致输出序列，该序列捕获系统动态（未来）。通过翻转该脉冲响应，我们将其用于计算所有先前输入值的加权组合的输出。这是一个了不起的对偶。

— 拉里·奥伯代尔
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简而言之，这意味着将输入从一个域转移到我们发现更易于使用的另一个域。卷积与Laplace变换相关联，有时在s域中更容易工作，在该域中我们可以对频率进行基本加法。而且由于laplace变换是一对一函数，因此我们很可能不会破坏输入。在试图理解一般的定理在物理意义上意味着什么之前，我们应该从频域开始。加法和标量乘法遵循与拉普拉斯变换是线性算子相同的规则。c1.Lap（f（x）+ c2.Lap g（x）= Lap（c1.f（x）+ c2.g（x））。但是Lap f（x）.Lap g（x）是定义定理的原理。

— 德本德拉·古龙
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