如果我们对2个信号进行卷积,则会得到第三个信号。第三信号相对于输入信号代表什么?
如果我们对2个信号进行卷积,则会得到第三个信号。第三信号相对于输入信号代表什么?
Answers:
卷积运算没有特别的“物理”含义。卷积在工程中的主要用途是描述线性时不变(LTI)系统的输出。LTI系统的输入输出行为可以通过其脉冲响应来表征,并且LTI系统针对任何输入信号可以表示为输入信号与系统的脉冲响应的卷积。
即,如果将信号应用于具有脉冲响应h (t )的LTI系统,则输出信号为:
就像我说的,没有太多的物理解释,但是您可以将卷积定性地认为是根据冲激响应h (t的形状)以某种方式“抹掉” 存在的能量。)。在工程水平上(严格的数学家不赞成),您可以通过更仔细地查看被积物本身的结构来获得一些见识。您可以将输出y (t )看作是无限数量的脉冲响应的总和,每个副本的偏移时间稍有不同(τ),并根据输入信号的值在t的值进行缩放对应于延迟:。
这种解释类似于使离散时间卷积(在Atul Ingle的答案中讨论)达到无限短的采样周期的极限,这在数学上也不是完全正确的,但可以通过一种直观的方式直观地观察动作对于连续时间系统。
对于离散信号非常有用的一种特别有用的直观解释是将卷积视为“回波的加权总和”或“存储器的加权总和”。
暂时,假设具有传递函数的离散LTI系统的输入信号为增量脉冲δ (n - k )。卷积为 y (n ) 这只是传递函数的回波(或记忆),延迟为k个单位。
现在将任意输入信号视为加权δ函数之和。然后,输出是h(n)的延迟版本的加权和。
例如,如果,然后写入X (Ñ )= δ (Ñ )+ 2 δ (Ñ - 1 )+ 3 δ (ñ - 2 )。
系统输出是分别具有适当权重1、2和3 的回波,h (n - 1 )和h (n - 2 )的总和。
因此。
理解卷积的一种直观的好方法是用点源查看卷积的结果。
例如,用哈勃太空望远镜有缺陷的光学器件对点进行2D卷积就可以创建此图像:
现在想象一下,如果图片中有两个(或更多)星星,会发生什么:您将以每个星星为中心两次(或更多)获得这种模式。图案的光度与恒星的光度有关。(请注意,星实际上始终是点源。)
这些图案基本上是点源与卷积图案的乘积,结果存储在像素中,这样当完整查看生成的图片时,它就可以再现图案。
我个人化卷积算法的方式是在源图像的每个像素上循环。在每个像素上,乘以卷积图案的值,然后将结果存储在相对位置与图案相对应的像素上。在每个像素上执行此操作(并在每个像素上求和结果),即可得到结果。
在信号和系统中,卷积通常与输入信号和脉冲响应一起使用以获得输出信号(第三信号)。将卷积视为“过去输入的加权总和”会更容易,因为过去的信号也会影响当前的输出。
我不确定这是否是您要找的答案,但是最近我在上面制作了一个视频,因为它困扰了我很长时间。 https://www.youtube.com/watch?v=1Y8wHa3fCKs&t=14s 这是一个简短的视频。请原谅我的英语笑。
物理含义是信号通过LTI系统!卷积定义为翻转(信号之一),移位,乘法和求和。我将解释每个人的直觉。
1.为什么我们翻转卷积信号之一,这是什么意思?
因为输入信号表示中的最后一点实际上是进入系统的第一个点(请注意时间轴)。卷积是为线性计时器不变系统定义的。这都与时间以及我们在数学中的表示方式有关。卷积有两个信号,一个代表输入信号,一个代表系统响应。因此,这里的第一个问题是系统响应的信号是什么?系统响应是在给定时间内系统的输出到给定时间t
内只有一个非零元素的输入t
(脉冲信号偏移了t
)。
2.为什么信号逐点相乘?
再次,让我们参考系统响应信号的定义。如前所述,信号是通过移动脉冲函数t
并绘制每个脉冲的输出而形成的t's
。我们还可以将输入信号想象成具有不同幅度(比例)和相位的脉冲函数之和。好的,因此系统在任何给定时间内对输入信号的响应就是信号响应本身乘以(或缩放)在给定时间内输入的幅度。
3.转移是什么意思?
说了这些(1&2)之后,执行平移以一次获取任何输入信号点的系统输出t
。
希望对您有帮助!
接下来是更长的“系统视图”:考虑点的理想(柏拉图主义)视野。销的头,很细,在空白处。您可以像Dirac(离散或连续)那样抽象它。
从远处看,或者像一个近视的人(就像我一样),它变得模糊。现在,想象一下重点也在盯着你。从“观点”的角度来看,您也可以是唯一的。该点也可以是近视的,并且两者之间的媒介(您和您之间的奇异点)可以是不透明的。
因此,卷积就像是困扰水的桥梁。我从没想过我可以在这里引用西蒙和加芬克尔。试图互相抓住的两种现象。结果是一个模糊,一个模糊,另一个模糊,对称。模糊不必相同。您的近视模糊与对象的模糊性均匀地结合在一起。这样的对称性使得如果对象的模糊性成为您的视线障碍,反之亦然,则整体模糊保持不变。如果其中一个是理想的,则另一个不变。如果可以清楚地看到,则可以看到对象的确切模糊度。如果对象是一个完美的点,则可以准确地衡量您的近视。
您可以检查但是为什么?直觉数学:卷积
在给定环境(房间,开放空间等)中,您听到声音的方式是音频信号与该环境的脉冲响应的卷积。
在这种情况下,脉冲响应代表环境的特征,例如音频反射,音频延迟和速度随温度而变化。
卷积是组合两个信号以形成第三个信号的数学方法。这是DSP中最重要的技术之一……为什么?因为使用此数学运算,您可以提取系统脉冲响应。如果您不知道为什么系统脉冲响应很重要,请在http://www.dspguide.com/ch6.htm中阅读有关它的信息。使用脉冲分解策略,系统通过称为脉冲响应的信号进行描述。卷积很重要,因为它涉及到三个感兴趣的信号:输入信号,输出信号和脉冲响应。正如乘法,加法和积分一样,它是一种形式上的数学运算。加法取两个数字并产生第三个数字,而卷积需要两个信号并产生第三个信号。在线性系统中,使用卷积来描述三个感兴趣的信号之间的关系:输入信号,脉冲响应和输出信号(来自Steven W. Smith)。同样,这与脉冲响应的概念紧密相关,您需要阅读该概念。