为什么FFT是“镜像”的？

如果您对简单信号进行FFT绘图，例如：

t = 0:0.01:1 ;
N = max(size(t));
x = 1 + sin( 2*pi*t ) ;
y = abs( fft( x ) ) ;
stem( N*t, y )

1Hz正弦波+ DC

1赫兹

以上的FFT

我知道第一个bin中的数字是信号中有“多少DC”。

y(1)  %DC
  > 101.0000

第二个bin中的数字应该是“整个信号中有多少个1周期”：

y(2)  %1 cycle in the N samples
  > 50.6665

但这不是101！大约是50.5。

fft信号的末尾还有另一个项，大小相等：

y(101)
  > 50.2971

所以又是50.5。

我的问题是，为什么FFT这样镜像？ 为什么不是101英寸y(2)（这当然意味着信号的所有101档中都有1 Hz正弦波？）

这样做准确吗？

mid = round( N/2 ) ;

% Prepend y(1), then add y(2:middle) with the mirror FLIPPED vector
% from y(middle+1:end)
z = [ y(1), y( 2:mid ) + fliplr( y(mid+1:end) ) ];

stem( z )

翻转并添加FFT向量的后一半

在此处输入图片说明

我现在认为，正确地添加了右侧的镜像部分，使我得到了所需的“ FFT的所有101个bin都包含一个1Hz正弦波”

>> z(2)

ans =

  100.5943

dft

— 波波波波
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类似的问题已经在这里找到答案：dsp.stackexchange.com/questions/3466/...

— pichenettes

但这特别是关于信号的对称性（我相信这是所谓的Hermetian对称性？）。

— bobobobo 2012年

对于纯实信号F（k）= conj（F（Nk）），这就是为什么纯实信号的傅立叶变换是对称的。

— WebMonster 2012年

问自己：如果您的信号是1 + cos（2 * pi t）...和1 + i cos（2 * pi t）...并且1 + i sin（2 * pi * t），您会期望什么结果？ ...

— pichenettes 2012年

因为傅立叶变换将信号分解为复指数，而正弦波是2个复指数的和。dsp.stackexchange.com/a/449/29

— endolith

Answers:

由于傅立叶变换的性质，实信号在傅立叶变换的正半部和负半部中“镜像”。傅立叶变换定义如下：

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt$

基本上，它使信号与一堆复杂的正弦波相关，每个正弦波都有自己的频率。那么那些复杂的正弦曲线是什么样的呢？下图说明了一种复杂的正弦曲线。

在此处输入图片说明

“开瓶器”是时间上旋转的复杂正弦曲线，而跟随它的两个正弦曲线是复杂正弦曲线的提取的实部和虚部。精明的读者会注意到，实部和虚部完全相同，只是它们彼此相差90度（）。因为它们异相90度，所以它们是正交的，并且可以在该频率下“捕获”信号的任何分量。 $\frac{\pi}{2}$

指数和余弦/正弦之间的关系由欧拉公式给出：

$e^{jx} = cos(x) + j*sin(x)$

这使我们可以如下修改傅立叶变换

H (f) = \int h (t) e^{- j 2 π f t} d t = \int h (t) (c o s (2 π f t) - j * s i n (2 π f t)) d t

$H(f) = \int h(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) - j*sin(2\pi ft))dt$

在负频率处，傅立叶变换变为以下

H (- f) = \int h (t) (c o s (2 π (- f) t) - j * s i n (2 π (- f) t)) d t = \int h (t) (c o s (2 π f t) + j * s i n (2 π f t)) d t

$H(-f) = \int h(t)(cos(2\pi (-f)t) - j*sin(2\pi (-f)t))dt \\ = \int h(t)(cos(2\pi ft) + j*sin(2\pi ft))dt$

将负频率版本与正频率版本进行比较表明，当正弦反转时，余弦是相同的。但是，它们仍然彼此异相90度，从而允许它们以该（负）频率捕获任何信号分量。

由于正弦频率和负弦频率正弦曲线的相位都相差90度，并且幅度相同，因此它们都将以相同的方式响应实际信号。或更确切地说，它们的响应幅度将相同，但相关阶段将不同。

编辑：具体来说，负频率相关性是真实信号的正频率相关性的共轭（由于虚假正弦分量的倒置）。用数学术语来说，正如Dilip所指出的，以下内容是：

$H(-f) = [H(f)]^*$

另一种思考方式：

虚构的组件就是这样。它们是一个工具，它允许使用一个额外的平面来查看事物，并且使许多数字（和模拟）信号处理成为可能，甚至比使用微分方程要容易得多！

但是我们不能打破自然的逻辑定律，我们不能对虚构的内容做任何“真实”的事情，因此它必须在回到现实之前有效地消除自身。在基于时间的信号（复杂频域）的傅立叶变换中，这看起来如何？如果我们将虚部消除的信号的正负频率分量相加/相加，这就是说正负元素彼此共轭的意思。请注意，当对时间信号进行傅立叶变换时，会存在这些共轭信号，每个共轭信号的“真实”部分共享幅度，正域中的一半，负域中的一半，因此实际上将共轭相加会删除虚构内容，仅提供真实内容。 $^\dagger$

$^\dagger$ 我们无法创建伏特的电压。显然，我们可以使用虚数来表示两个矢量值的真实信号，例如圆极化EM波。 $5i$

— 吉姆·克莱
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好的答案-尽管我有些不高兴，但我不赞成“因为它们是相同的，一个与之相关的东西，另一个也将具有完全相同的幅值和90度相移。” 我知道您要说的是什么，但是（如您所知），正弦与正弦相关（分数1），但根本不与余弦相关（分数0）。它们是相同的信号，但相位不同。

— Spacey 2012年

你是对的。还有另一个更严重的问题。稍后再解决。

— 吉姆·克莱

如果您可以编辑答案以更好地响应有关DFT的问题（尽管标题中标有FFT），而不是给出傅里叶变换的一般理论，那将是很好的。

— Dilip Sarwate 2012年

@DilipSarwate我的目标是帮助提问者理解，我认为我的方法是最好的。但是，我赞成您的答案，因为它可以进行离散数学运算。

— 吉姆·克莱

@JimClay你的做法是通过dsp.SE整个读者大为赞赏，我希望你会发现时间，使你的答案被一个真正伟大的答案明确，包括在你的答案是什么，目前留给读者推断：即。当是实值信号时，等式表明（因此），并且这就是OP所要求的“镜像”。换句话说，我要求您编辑您的答案以对实际提出的问题做出更快速的反应（正如我在上一条评论中所要求的）。

H (- f) = [H (f)]^{*}

$H(-f) = [H(f)]^*$

| H (- f) | = | H (f) |

$|H(-f)| = |H(f)|$

x (t)

$x(t)$

— Dilip Sarwate 2012年

该FFT（或快速傅立叶变换）实际上是一种算法，为的计算离散傅立叶变换或DFT。通过利用数据点的数量是一个复合整数这一事实，典型的实现方式可以实现DFT的传统计算速度的提高，因为是质数，所以这里不是这种情况。（虽然对于为素数的情况，存在FFT ，但它们使用可能在MATLAB中实现或可能未实现的不同表示形式）。实际上，许多人故意选择的形式为或以便通过FFT加快DFT计算。 $N$ $101$ $N$ $N$ $2^k$ $4^k$

关于为什么发生镜像的问题，hotpaw2本质上已说明了原因，因此以下仅是细节的补充。将数据点的序列的定义为序列，其中，其中。很明显，即使是实值序列，通常也是复数值序列。但请注意，当 $\mathbf x = \bigr(x[0], x[1], x[2], \ldots, x[N-1]\bigr)$ $N$ $\mathbf X =\bigr(X[0], X[1], X[2], \ldots, X[N-1]\bigr)$

X [m] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] {(\exp (- j 2 π \frac{m}{N}))}^{n}, m = 0, 1, \dots, N - 1

$X[m] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n, m = 0, 1, \ldots, N-1$

j = \sqrt{- 1}

$j = \sqrt{-1}$

X

$\mathbf X$

x

$\mathbf x$

x

$\mathbf x$ 是一个实值序列，是一个实数。此外，如果是偶数，则由于，我们也有是实数。但是，无论是奇数还是偶数，实值序列的DFT都具有您在注释中提到的厄米对称性。对于任何固定的，我们都有

X [0] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n]

$\displaystyle X[0]=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]$

N

$N$

\exp (- j π) = - 1

$\exp(-j\pi) = -1$

X [\frac{N}{2}] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] {(\exp (- j 2 π \frac{N / 2}{N}))}^{n} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] (- 1)^{n}

$X\left[\frac{N}{2}\right] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N/2}{N}\right)\right)^n = \sum_{n=0}^{N-1} x[n](-1)^n$

N

$N$

X

$\mathbf X$

x

$\mathbf x$

m

$m$

1 \leq m \leq N - 1

$1 \leq m \leq N-1$ ，因此，对于，。作为这种情况的特殊情况，请注意，如果当为偶数时选择，则会得到，从而证实了先前的结论是

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] {(\exp (- j 2 π \frac{m}{N}))}^{n} \\ X [N - m] & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] {(\exp (- j 2 π \frac{N - m}{N}))}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] {(\exp (- j 2 π + j 2 π \frac{m}{N}))}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] {(\exp (j 2 π \frac{m}{N}))}^{n} \\ = {(X [m])}^{*} \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{N}\right)\right)^n\\ X[N-m] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi \frac{N-m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(-j2\pi + j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\exp\left(j2\pi\frac{m}{N}\right)\right)^n\\ &= \left(X[m]\right)^* \end{align*}$

1 \leq m \leq N - 1

$1 \leq m \leq N-1$

X [N - m] = {(X [m])}^{*}

$X[N-m] = \left(X[m]\right)^*$

m = N / 2

$m = N/2$

N

$N$

X [N / 2] = {(X [N / 2])}^{*}

$X[N/2] = \left(X[N/2]\right)^*$

X [N / 2]

$X[N/2]$ 是一个实数。请注意，厄米对称性的影响是

所述个在一个实数值序列的DFT仓具有相同的大小作为第斌。 $m$ $(N-m)$

MATLABi的人员将需要对此进行翻译，以说明MATLAB数组从向上编号的事实。 $1$

转到实际数据，你是的DC值加上 略多于一个周期的频率的正弦波的赫兹。确实，您得到的是，其中。因此，样本的第一个和最后一个具有相同的值。因此，您要计算的DFT由和之间的不匹配会导致DFT混乱：值 $\mathbf x$ $1$ $1$

x [n] = 1 + \sin (2 π (0.01 n)), 0 \leq n \leq 100

$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 100$

x [0] = x [100] = 1

$x[0] = x[100] = 1$

101

$101$

X [m] = \sum_{n = 0}^{100} (1 + \sin (2 π (\frac{n}{100}))) {(\exp (- j 2 π \frac{m}{101}))}^{n}

$X[m] = \sum_{n=0}^{100} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{101}\right)\right)^n$

100

$100$

101

$101$

X [m]

$X[m]$ 对于都是非零的，尽管很小。另一方面，假设您要调整MATLAB程序中的数组，以在处获取样本，以使则DFT为您会看到您的DFT 恰好是（或至少在舍入误差内），而逆 DFT将得出，

2 \leq m \leq 99

$2 \leq m \leq 99$ t

100

$100$

t = 0, 0.01, 0.02, \dots, 0.99

$t=0, 0.01, 0.02, \ldots, 0.99$

x [n] = 1 + \sin (2 π (0.01 n)), 0 \leq n \leq 99.

$x[n] = 1 + \sin(2\pi (0.01n)), ~ 0 \leq n \leq 99.$

X [m] = \sum_{n = 0}^{99} (1 + \sin (2 π (\frac{n}{100}))) {(\exp (- j 2 π \frac{m}{100}))}^{n},

$X[m] = \sum_{n=0}^{99} \left(1+\sin\left(2\pi \left(\frac{n}{100}\right)\right)\right)\left(\exp\left(-j2\pi \frac{m}{100}\right)\right)^n,$

X = (100, - 50 j, 0, 0, \dots, 0, 50 j)

$\mathbf X = (100, -50j, 0, 0, \ldots, 0, 50j)$

0 \leq n \leq 99

$0 \leq n \leq 99$

\begin{aligned} x [n] & = \frac{1}{100} \sum_{m = 0}^{99} X [m] {(\exp (j 2 π \frac{n}{100}))}^{m} \\ = \frac{1}{100} [100 - 50 j \exp {(j 2 π \frac{n}{100})}^{1} + 50 j {(\exp (j 2 π \frac{n}{100}))}^{99}] \\ = 1 + \frac{1}{2 j} [\exp (j 2 π \frac{n}{100}) - \exp (j 2 π \frac{- n}{100})] \\ = 1 + \sin (2 π (0.01 n)) \end{aligned}

$\begin{align*} x[n] &= \frac{1}{100}\sum_{m=0}^{99}X[m]\left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^m\\ &= \frac{1}{100}\left[100 - 50j\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)^1 + 50j \left(\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right)\right)^{99}\right]\\ &= 1 + \frac{1}{2j}\left[\exp\left(j2\pi \frac{n}{100}\right) - \exp\left(j2\pi \frac{-n}{100}\right)\right]\\ &= 1 + \sin(2\pi (0.01n)) \end{align*}$ ，这正是您的起点。

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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因此，是否可以通过FFT 判断信号是否为周期性信号？

— 显示名称

@displayname是一个单独的问题，应单独提出（也许已经有人问过并回答了）。

— Dilip Sarwate

当我仔细撬出共轭对称箱时（通过将0 + 0i写入它们）并使用ifft重构时域信号，重构后的时域信号的幅度减半。这是自然的还是工具问题？我确实照顾了FFT输出归一化及其在iFFT之后的反向作用。

— 拉吉

注意，仅当输入数据为实数时，FFT结果才被镜像（如共轭对称）。

对于严格实数的输入数据，FFT结果中的两个共轭镜像会抵消任何复杂正弦波的虚部，从而求和为严格实数正弦波（微小的数字舍入噪声除外），从而使您得到严格的正弦波表示。真正的正弦波。

如果不对FFT结果进行共轭镜像，则它将表示具有复杂值（非零虚部）的波形，而不是严格实数的波形。

— hotpaw2
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