如何在 -transform的“衔接区”的工作？

我是DSP的新手，对变换及其收敛区域（ROC）毫无疑问。$\mathcal Z$

我知道 -transform是什么。但是我在理解ROC时遇到了麻烦。首先，我对和有一些困惑。交换这些条款很容易引起我的注意。我知道ROC定义了 -transform存在的区域。从网上和我的书中可以看出： X （z ）x （z ）$\mathcal Z$$X(z)$$x(z)$$\mathcal Z$

如果是有限持续时间序列，则ROC是整个平面，但可能或。有限持续时间序列是在有限间隔非零的序列z z = 0 | z | = ∞ Ñ 1 ≤ ñ ≤ Ñ $x[n]$$z$$z = 0$$\lvert z\rvert = \infty$$n_1 \le n \le n_2$

后来它说：

当，将有一个项，因此ROC将不包括。当，总和将是无限的，因此ROC将不包括。$n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$$n_1 < 0$$\lvert z\rvert=\infty$

这就是我卡住的地方！他们尝试在上面的行说“ 当会出现一个项，因此ROC将不包括$n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$ z=0z0 ”，他们通过的意思？如果在哪个方程式中，它们是否将替换为？$z=0$$z$$0$

我们如何计算无限序列的收敛区域？

老实说，我认为Z变换背后的理论在大学里也有点不透明。事后看来，参加复杂分析课程会更加清楚。我也不太喜欢这些东西使用的符号约定。严格地说，平时这里的约定是

• $x[n]$表示离散时间序列
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • 方括号表示离散参数
• $X(z)$表示连续值的变换函数
  • $z\in\mathbb{C}$（是复数）
  • 括号表示接受连续值参数的函数
  • 大写表示其他函数/序列的变换版本（傅立叶变换使用类似的符号：X ˚F （Ĵ ω ）↔ ˚F （吨$X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

z = 0代表什么？如果在哪个等式中，它们是否将z替换为0？

他们的意思是，只需将插入到您通常的Z变换定义中即可。$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

通常（更确切地说，当对于某些）时，该总和对于某些复数将发散（至无穷大）。例如，对于和，令，并且。那么。对于，ROC不包含n ≠ 0 z x [ 0 ] = 1 ，x [ 1 ] = 1 x [ n ] = 0 n < 0 n > 1 X （z ）= 1 + z - 1 z = 0 lim z → 0 X （z ）= $x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

当您的文字说“ 当时将有一个项，因此ROC将不包括z − 1 z = $n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ ”，它们的意思是，当对于某些为非零时，z变换不可避免地要包含一个项，该项在处发散到无穷大。就这样。n>0 z − n z=$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

我们如何计算无限序列的收敛区域？

很多数学。哈！

简而言之，这样做的方法是为所讨论的序列获取代数公式，将其插入Z变换定义中，并使用可从几何级数（和复数幂级数）分析中获得的工具来确定Z的位置-变换收敛/发散。在实践中，确定收敛是最重要的问题，因为它确定稳定性，以及您是否可以从系统中获得频率响应等。但是因果关系也可能很重要，具体取决于您的情况。在做。$|z|=1$