平方超根函数有哪些近似技术？

我需要实现的倒数的近似值，即平方超根（ssrt）函数。例如，表示。与使用幂级数更直接的方法相比，我对了解特定的精度/位深度不感兴趣，而对了解我的选择却不那么感兴趣。 $x^x$ $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ $1.56^{1.56} \approx 2$

Wolfram Alpha 就Lambert W函数（即）给出了一个很好的符号解决方案。维基百科给出了相同的公式，以及等效的。鉴于在计算 [1] [2]方面有合理的信息量，从技术上讲，这是为各种需求实现某些东西所需的一切。我知道至少有两本书详细介绍了关于 [3] [4]的详细信息，因此从该方向上甚至还有很多优化的空间。 $\ln(x)/W(\ln(x))$ $e^{W(\ln(x))}$ $W(x)$ $\ln(x)$

但是，我有两个问题：

此功能专用的近似技术是否已在任何地方发布？
除了“平方超级根”以外，它是否还有其他名称，这将使搜索参考变得容易一些？

Wikipedia / Google已经找到了一些引用，这些引用专门用于更一般的“文本”功能，其中包括作为特例，但其中大多数似乎更适合于探索/定义一般情况。 $\mathrm{ssrt}(x)$

Corless，R .；Gonnet，G .；野兔，D。杰弗里（D. Knuth，Donald（1996），“关于Lambert W函数”， http：//www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
数学函数数字图书馆。http://dlmf.nist.gov/4.13
Crenshaw，Jack W.（2000），《实时编程的数学工具包》。
Hart，John F.（1978），计算机近似。
Chapeau-Blondeau，F.和Monir，A.（2002）。Lambert W函数的数值评估及其在指数为1/2的广义高斯噪声生成中的应用。IEEE Transactions on Signal Processing 50，2160-2165。http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
米内罗，保罗。快速近似兰伯特w ^。http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

更新资料

在过去几天进行了更多研究之后，我仍然没有发现那种动手的“ Crenshaw风格” $[3]$ 治疗我所期待的，但我没有找到一个新的参考值得在这里记录。在第三页上，有一个标题为“快速近似”的部分，详细介绍了在噪声产生的情况下近似。另外，有趣的是，“高斯噪声指数为1/2”的概率密度（在本文中）看起来与凯伦杰（Kellenjb）的答案的直方图极为相似。 $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ 有关检测信号削波的问题。

另外，rwong在注释给出的链接对于实际实现是一个很好的资源，它甚至链接到作者的BSD许可项目fastapprox，其中包括所描述的实现。 $[6]$ $W(x)$

approximation

— datageist
source

machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— rwong 2011年

我在Meta上询问了此问题，因为注释字段并不用于扩展讨论。请在此处建议我们应如何处理这些问题：有关数值分析的

@datageist-meta问题的最初结论是，如果您想使用此数值分析来处理DSP数据，那么它就成为话题。如果没有，那就没有。这与DSP有何关系？

— Kevin Vermeer

@Kevin它是在开发音频效果的背景下出现的。

— datageist

每当我需要为Lambert函数编写例程时，通常都使用本文给出的近似值，然后使用Newton-Raphson，Halley或任何其他迭代方法进行完善。您可以采用这种方法来反转

...

x^{x}

$x^x$

在黑暗中，一些数字刺伤产生了以下迭代方法：

我们正在寻找解y = f（x），其中y ^ y = x。

ÿ \ln ÿ = \ln X

$y \ln y = \ln x$

ÿ = G （ X ， ÿ ） = Ë^{\frac{\ln X}{ÿ}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

为值是上述方程的一个固定点，并且凭经验似乎收敛为的某些值，但对于更大的值它振荡或发散。 $y$ $x$ $x$

然后，我尝试了一种类似于牛顿迭代平方根的方法：

ÿ = \frac{ÿ_{p [R Ë v 一世 Ø ü s} + ÿ_{*}}{2} = \frac{ÿ + Ë^{\frac{\ln X}{ÿ}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

其中y *应该表示一个非收敛但乐观的答案，如果您碰巧猜出了一个准确的初始值（在平方根y ² = x中，则y * = x / y），它将保持准确性。

这似乎收敛了，但是在（在附近 $x$ ） $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$

最初的猜测还不错。 $y_0 = \ln(x)+1$

所以我想也许有一个更好融合的解决方案：

$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ $a$ $x$

然后我发现了一些有趣的东西。

$y$ $y^y = x$ $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ $y_2-y$ $\epsilon \times (-\ln(y))$ $y_1 = y + \epsilon$ $\epsilon$ $y_2 = g(x,y_1)$ $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$

$y$ $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ $\ln(y_1)$ $\ln(y)$

\begin{aligned} ÿ [ñ + 1个] & = \frac{G （ X ， ÿ [ñ] ） + \ln （ ÿ [ñ] ） \times ÿ [ñ]}{1个 + \ln （ ÿ [ñ] ）} \\ = \frac{Ë^{\frac{\ln （ X ）}{ÿ [ñ]}} + \ln （ ÿ [ñ] ） \times ÿ [ñ]}{1个 + \ln （ ÿ [ñ] ）} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

初始猜测为，这似乎工作得很好。 $y = 1+\ln(x)$

（有人可能会在某种程度上表明这等同于牛顿-拉夫森，但我认为这超出了我的能力。）

— 杰森·S
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