翻转卷积中的脉冲响应

在对信号进行卷积时，为什么在此过程中需要翻转脉冲响应？

改编自对另一个问题的回答（如评论中所述），希望该问题不会被Community Wiki作为热门问题之一反复抛出。

线性（时间不变）系统没有冲动响应的“翻转”。线性时不变系统的输出是冲激响应的按比例缩放和延时形式的总和，而不是 “翻转”冲激响应。

我们将输入信号分解$x$成总和缩放单元的脉冲信号的。该系统响应于该单位脉冲信号 $\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$是脉冲响应或脉冲响应

$$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$$ 等由缩放属性单个输入值 $x[0]$或者，如果你喜欢 $$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$$ 创建响应 $$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$$

类似地，单个输入值或创建 X [ 1 ] （⋯ ，0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，⋯ ）= ⋯ 0 ，0 ，0 ，X [ 1 ] ，0 ，⋯ 创建响应 0 ，x [ 1 ] h [ 0 ] ，x [ $x[1]$

$$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$$ 注意对 x [ 1 ]的响应延迟。我们可以沿这个方向继续前进，但是最好切换到更表格的形式，并显示各个输出在时间上正确对齐。我们有 时间→ 0 1 2 ⋯ n n + 1 ⋯ x $$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$$ $x[1]$上述阵列中的行是精确的缩放和延迟版本与输入信号x的响应y相加的脉冲响应。 但是，如果您问一个更具体的问题，例如 $$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ $y$$x$

在时间输出是什么？$n$

那么您可以通过将第求和答案$n$

$$\begin{align*} y[n] &= x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m], \end{align*}$$ $$\begin{align*} y[n] &= x[n]h[0] + x[n-1]h[1] + x[n-2]h[2] + \cdots + x[0]h[n] + \cdots\\ &= \sum_{m=0}^{\infty} x[n-m]h[m], \end{align*}$$ $n$

这是一个C / C ++示例，该示例显示了可以进行卷积而无需反向使用脉冲响应。如果检查该convolve_scatter()函数，则任何地方都不会否定变量。这是散射卷积，其中使用冲激响应给定的权重将每个输入样本分散（求和）到内存中的多个输出样本。这是浪费的，因为将需要多次读取和写入输出样本。

通常，卷积是在聚集卷积中完成的，如中所示convolve_gather()。在这种方法中，每个输出样本是通过将输入样本收集（求和）而得到的，并以反向的脉冲响应作为权重来形成。完成后，输出样本驻留在用作累加器的处理器寄存器中。通常，这是选择的方法，因为每个过滤后的样本只有一个存储器写操作。现在，输入的内存读取次数更多，但散射方法中输出的内存读取次数却与之相同。

#include <stdio.h>

const int Nx = 5; 
const int x[Nx] = {1, 0, 0, 0, 2};
const int Ny = 3; 
const int y[Ny] = {1, 2, 3};
const int Nz = Nx+Ny-1;
int z[Nz];

void convolve_scatter() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    z[k] = 0;
  }
  for (int n = 0; n < Nx; n++) {
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      z[n+m] += x[n]*y[m]; // No IR reversal
    }
  }
}

void convolve_gather() { // z = x conv y
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    int accu = 0;
    for (int m = 0; m < Ny; m++) {
      int n = k+m - Ny + 1;
      if (n >= 0 && n < Nx) {
        accu += x[n]*y[Ny-m-1]; // IR reversed here
      }
    }
    z[k] = accu;
  }
}

void print() {
  for (int k = 0; k < Nz; k++) {
    printf("%d ", z[k]);
  }
  printf("\n");
}

int main() {
  convolve_scatter();
  print();
  convolve_gather();
  print();
}

它对序列进行卷积：

1 0 0 0 2
1 2 3

并使用两种卷积方法输出：

1 2 3 0 2 4 6

我无法想象有人使用散射方法，除非滤波器是随时间变化的，在这种情况下，两种方法将产生不同的结果，并且一种方法可能更合适。

它只是“翻转”用于逐点计算。

@Dilip解释了卷积积分/求和表示的含义，但要解释为什么两个输入函数之一（通常h(t)）出于计算目的而被翻转，请考虑具有输入x[n]和脉冲响应的离散时间系统h[n]：

• 您可以使用输入函数x[n]，并为每个非零*样本x[n]计算从样本开始的缩放脉冲响应，n直到时间平移到h[n]零为止（假定为因果关系h[n]）。这将涉及没有“翻转”（或更准确地“时间反转”）的任一x[n]或h[n]。但是，最后，您将不得不为每个非零的脉冲响应添加/叠加所有这些比例缩放和移位的“回声” x[n]。

• x[0]k

  $$\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]$$ h[n]x[n]，是x[0]h[0]。然后，增加k1将h[n]移至正确的一个时间步长，以使时间倒数h[n]的第二个条目（h[1]）现在位于的顶部x[0]，等待相乘。就像在以前的方法中所做的那样，这将x[0]h[1]在时间上产生期望的贡献n=1。

---

x[n]

$$\forall x[n] = 0$$ h[n]y[n]

在索引c [n]处，a [n]和b [n​​]的卷积为：

“ c [n]是所有乘积（a [k] b [m]）的总和，使得m + k = n，”因此m = n-k或k = n-m，这意味着序列之一必须翻转。

现在，为什么卷积首先表现为这种方式？因为它与乘法多项式有关。

将两个多项式相乘会得出一个具有系数的新多项式。乘积多项式的系数定义了卷积运算。现在，在信号处理中，这些多项式是传递函数-拉普拉斯变换或z变换，每个系数对应于不同的时间延迟。乘积和被乘数的系数匹配会导致以下事实：“一个表示形式的乘法对应于变换表示形式中的卷积”。

在卷积期间，根本不需要发生脉冲响应的“翻转”。

但是，如果要防止任何相位改变，则可以用脉冲响应对信号进行卷积，然后反转脉冲响应并重新进行卷积以消除相位影响。

在离线处理中，您可以像在第一次卷积后一样轻松地反转信号以获得相同的结论（如注释所示）。

$$\int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau$$ $$\iint\nolimits_{t_1+t_2 = t} f(t_1) \, g(t_2) \, dt_1\, dt_2$$ $f$$g$$t$

$$\iint_{t_1,t_2} f(t_1)\,g(t_2)\,\delta(t-t_1-t_2)\,dt_1\,dt_2$$ $$\int_{t_1}f(t_1)\, dt_1\int_{t_2}g(t_2) \delta(t-t_1-t_2) \,dt_2$$ $$\int_{t_1}f(t_1)\,dt_1\,g(t-t_1)$$