为什么这种手动双线性变换产生的结果与Matlab的结果不同？

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我有一个截止频率为一阶Butterworth滤波器。则其传递函数为 $\omega_c$

H (s) = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$

使用双线性变换找到 $H(z)$ （那个函数叫什么？），我得到

H (z) = \frac{ω_{c}}{\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} + ω_{c}} = \frac{ω_{c} z + ω_{c}}{(\frac{2}{T} + ω_{c}) z + ω_{c} - \frac{2}{T}}

$H(z)=\frac{\omega_c}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} + \omega_c} = \frac{\omega_c z + \omega_c}{\left(\frac{2}{T}+\omega_c\right)z + \omega_c-\frac{2}{T}}$

但是，我无法将此结果与Matlab所做的调和。无论值是多少，这似乎都是错误的 $T$ 。我假设B和A以下是的系数 $H(z)$ 。

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095

我有什么误会？

filters matlab

— 安德烈亚斯
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MATLAB不使用模数转换。它以数字方式设计滤波器，因此双线性变换的想法可能不适用。

— 声子

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@Phonon：这个答案似乎表明Matlab以某种方式使用了双线性变换。

— 安德烈亚斯（Andreas）

此处游戏晚了，但z / s / \ omega的所有大写函数H通常称为传递函数。当参数是时间或样本时，称为冲激响应，通常用小写字母h表示。因此，传递函数是脉冲响应的变换（取决于应用的Z，傅立叶，拉普拉斯）。

— 伊曼纽尔·兰德霍尔姆

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几件事：

在进行替换，您需要通过进行替换来预先调整截止频率： $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

ω_{c, w} = \frac{2}{T} \tan (ω_{c} \frac{T}{2})

$\omega_{c,w} = \frac{2}{T} \tan (\omega_c\frac{T}{2})$

其中是弯曲的截止频率。这是必需的，因为双线性变换以非线性方式将Laplace域中的左半平面（用于模拟滤波器设计）映射到域中的单位圆。因此，当您接近奈奎斯特速率（数字频率）时，模拟滤波器原型的近似值变得不准确。 $\omega_{c,w}$ $z$ $\pm \pi$

此外，要传递到所述第二参数butter函数是归一化截止频率，而不是采样间隔。该函数使用的归一化频率在区间内，并且等于所需截止频率与奈奎斯特速率的比值： $T$ $(0,1)$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{2 π \frac{f_{s}}{2}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{2 \pi \frac{f_s}{2}}$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{π f_{s}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{\pi f_s}$

ω_{n} = \frac{ω_{c} T}{π}

$\omega_n = \frac{\omega_c T}{\pi}$

— 杰森·R
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谢谢！现在我得到正确的系数。在这里，我在表达式中用了。之所以可行，是因为我知道截止频率在哪里影响巴特沃斯滤波器。如果我有一个通用滤波器并且只知道的极点（和零点怎么办？我怎么知道要替代哪些值？

ω_{c}

$\omega_c$

o m e g a_{c}, w

$omega_c,w$

H (z)

$H(z)$

H (s)

$H(s)$

— 安德里亚斯（Andreas）

因为我想可以只知道采样频率而不知道（归一化的）截止频率来完成有理的双线性变换？

H (s)

$H(s)$

— Andreas

您可以使用双线性变换将任何域系统映射到域中的近似值。不需要预翘曲，但需要注意的是，所得离散时间系统只是模拟系统的近似值。对任何感兴趣的频率进行预扭曲可以使您“拉伸”映射，从而使您最关心的频段区域具有尽可能小的原型滤波器失真。

s

$s$

z

$z$

— 杰森R

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在打开MATLAB butter函数的代码时，我们看到它使用了频率预变形：

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end

— 声子
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