为什么自相关的峰值为零？

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我知道自相关函数中的零位移等于其能量，但是，我想了解为什么峰值为零。

autocorrelation

— Itamarb
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这是一个很好的解释，请尽情享受！personal.maths.surrey.ac.uk/st/J.Deane/Teach/eee2035/...

— 两性

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您是在寻找正式证明还是其背后的直觉？在后一种情况下：“没有什么比它自己更类似于一个函数了”。滞后时间自相关度量函数和移位的相同函数之间的相似性。请注意，如果是周期性的，则偏移和的任意整数倍，因此自相关具有梳状形状-峰值在该周期的整数倍处具有与中心峰相同的高度。 $\tau$ $f$ $\tau$ $f$ $f$ $\tau$ $f$

— 披巾
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@JasonR 有限能量信号（OP询问的是，因为他说零延迟的自相关函数是能量）不能是周期性的，因此该答案的后半部分不适用于OP的问题，但确实适用于为周期信号定义的周期自相关函数。在我的回答中，我试图区分这两种情况，并指出周期信号的自相关函数可能具有与周期峰值一样深的周期谷。

— Dilip Sarwate 2012年

@Dilip：一如既往，好点。

— 杰森R

它不是证明，甚至不是证明。仅因为您知道答案而起作用的单词。

— 约翰·史密斯，

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由下式给出的非周期离散时间有限能量信号的自相关函数

R_{x} [n] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m - n] or R_{x} [m] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] (x [m - n])^{*}

$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$ 分别用于实信号和复信号。为了便于说明，将自己限制为真实信号，让我们考虑求和

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ 。对于固定延迟

n

$n$ 和给定的

m

$m$ ，

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ 通常具有正值或负值。如果发生这种情况，对于特定的延迟

n

$n$ ，

x [m] x [m - n]

$x[m]x[m-n]$ 对于所有延迟都是非负的

m

$m$ ，那么总和中的所有项将加起来（不抵消），因此

R_{x} [n]

$R_x[n]$ 被保证具有正值。事实上，总和将是最大的，如果所有的峰

x [m - n]

$x[m-n]$ 与高峰排队在

x [m]

$x[m]$ 和山谷中的

x [m - n]

$x[m-n]$ 在山谷排队

x [m]

$x[m]$ 。例如，如果

x

$x$ 是过度采样的Sinc函数，则说

x [m] = {\begin{cases} \frac{\sin (0.1 π m)}{0.1 π m}, & m \neq 0, \\ 1, & m = 0 \end{cases}

$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$ 与在峰

m = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ ，并在谷

\pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$

x (t)

$x(t)$ ，然后

R_{x} [n]

$R_x[n]$ 将在

处有 最大值

n = 0, \pm 25, \pm 45, \dots

$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ （并且出于同样的原因

当峰与谷对齐时，在

n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \dots

$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ 处将具有最小值）。当

和

最高峰重合时，

的全局最大值显然在延迟

。实际上，该结论不仅适用于该Sinc信号，还适用于任何

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n = 0

$n = 0$

x [m]

$x[m]$

x [m - n]

$x[m-n]$ 信号。在滞后

n = 0

$n = 0$ ，我们有

R_{x} [0] = \sum_{m = - \infty}^{\infty} (x [m])^{2}

$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$ ，我们保证不仅是所有排队与彼此的峰和谷（不管这些出现在

x [m]

$x[m]$ ），但最高峰和最深谷也适当地排列在一起。

更正式地说，对于@JohnSmith之类的需要正式证明的徒，柯西不等式表示，对于复杂值序列 $u$ 和 $v$ ，

{| \sum_{m} u [m] (v [m])^{*} |}^{2} \leq \sum_{m} | u [m] |^{2} \sum_{n} | v [m] |^{2} .

- \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{\sum_{m} {(u [m])}^{2} \sum_{m} {(v [m])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$ 其中平等在上（下）限持有，如果有一个正（负）号

λ

$\lambda$ 使得

u = λ v

$u = \lambda v$ ，（即，

u [m] = λ v [m] \forall m

$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$ 其中

λ > 0

$\lambda > 0$ （

λ < 0

$\lambda < 0$ ））。认识到平方根内的款项是能量

E_{u}

$\mathcal E_u$ 和

E_{v}

$\mathcal E_v$ 序列的，我们可以写

- \sqrt{E_{u} E_{v}} \leq \sum_{m} u [m] v [m] \leq \sqrt{E_{u} E_{v}}

$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$ 设置

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ 和

v [m] = x [m - n]

$v[m] = x[m-n]$ 其中

n

$n$ 是某个整数，我们有

- \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}} \leq R_{x} [n] \leq \sqrt{\sum_{m} {(x [m])}^{2} \sum_{m} {(x [m - n])}^{2}}

$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$ ，并认识到现在

E_{u} = E_{v} = E_{x}

$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$ ，我们有

- E_{x} \leq R_{x} [n] \leq E_{x}

$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$ 平等保持在边界之一，如果

x [m] = λ x [m - n]

$x[m] = \lambda x[m-n]$ 对于所有

m

$m$ 。最后，注意到，

E_{x} = \sum_{m} (x [m])^{2} = R_{x} [0]

$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$ ，且当

n = 0

$n=0$ ，序列

u [m] = x [m]

$u[m] = x[m]$ 是相同的序列

v [m] = x [m - n] = x [m - 0] = x [m]

$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ （即，

λ = 1

$\lambda = 1$ 为正实数，使得

u [m] = λ v [m]

$u[m] = \lambda v[m]$ 对于所有

m

$m$ ），我们有

- R_{x} [0] \leq R_{x} [n] \leq R_{x} [0]

$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$ 表示

R_{x} [n]

$R_x[n]$ 已经以峰值

n = 0

$n=0$ ，所有其他自相关值均小于此峰值。

$x[m]$ $R_x[n]$

R_{x} [n] = \sum_{m = 0}^{N - 1} x [m] (x [m - n])

$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$

N

$N$

x [m]

$x[m]$

x [m] = x [m - N]

$x[m] = x[m-N]$

m

$m$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

n

$n$

R_{x} [0] \geq | R_{x} [n] |

$R_x[0] \geq |R_x[n]|$

1 < n < N

$1 < n < N$

R_{x} [0]

$R_x[0]$

R_{x} [k N] = R_{x} [0]

$R_x[kN] = R_x[0]$

k

$k$

R_{x} [n] = - R_{x} [0]

$R_x[n] = -R_x[0]$

n \in {1, 2, \dots, N - 1}

$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$

n = N / 2

$n = N/2$

N

$N$

N = 2

$N=2$

[1 - 1]

$[1 ~ -1]$

[2 - 2]

$[2 ~ -2]$

R_{x} [n]

$R_x[n]$

2

$2$

n

$n$

0

$0$

- 2

$-2$

n

$n$

N

$N$

\vec{x}

$\vec{x}$

[\vec{x^{'}}, - \vec{x^{'}}]

$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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使用

{(x [n] - x [n + m])}^{2} = x^{2} [n] + x^{2} [n + m] - 2 x [n] x [n + m]

$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$

可以很容易地表明

\begin{aligned} R_{x} [m] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] x [n + m] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x^{2} [n] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \\ = R_{x} [0] - \frac{1}{2} \sum_{n = - \infty}^{\infty} {(x [n] - x [n + m])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$

$R_x[0]$ $R_x[m]$ $R_x[0]$ $m$

— 罗伯特·布里斯托·约翰逊
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这里唯一正确的答案。非常感谢，我自己导出它时遇到了麻烦。

— 约翰·史密斯，