如何仅高效地计算零填充FFT的低系数

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我有一种算法，可以将序列零填充到4N，执行FFT，并且仅使用生成的4N中最低的N个频率点。

这似乎是很多浪费的工作，有什么想法可以更快地完成此工作吗？

fft dft

— 马克·博格丁
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@Dilip。我将使用FFTW或IMKL库。我当然可以使用我的kissfft库，但是相对于其他库，它在速度上处于劣势

— Mark Borgerding 2011年

2

我删除了您回复的评论，因为我的意思是按频率抽取，但改为按时间抽取。但是请看这里的蝴蝶图。如果您为

-FFT 的前两个阶段编写一些代码，以考虑到大量的零并跳过相应的乘法，则可以为

-FFT 调用FFT库子例程

次，其中输入向量是“饱”。当然，每个子例程调用仅需要

个输出。

4 N

$4N$

4

$4$

N

$N$

N / 4

$N/4$

— Dilip Sarwate

2

如果您只有几个箱，那么以下内容可能对您非常有效：
1.只需在所需的每个频率上进行DFT。
2.对每个有问题的频率使用Goertzel算法。

— 雅各布
source

马克说他需要

垃圾箱，因此1）似乎不是一个合理的选择。Goertzel算法具有诸如接收数据时进行在线计算，存储量小等优点，但是每个bin 需要

乘法，而通过Horner规则计算为多项式求值的每个bin仅需要

乘法。因此，2）似乎也不是一个特别合理的选择。

N

$N$

4 N

$4N$

2 N + 4

$2N+4$

N

$N$

— Dilip Sarwate

您是对的，在阅读问题时，我以某种方式错过了细节。当我回答时，我在想：“天哪，很高兴知道他想要多少个垃圾箱……”猜猜我应该在回答之前重新阅读问题。

— 雅各布

2

零填充到4倍长度，计算更长的FFT，然后仅使用底部的第1/4个bin，产生的结果与原始长度FFT的加窗Sinc插值几乎相同。

因此，只需使用原始FFT长度并使用具有适当窗口宽度的三相Sinc内插内核进行内插即可。

— hotpaw2
source

0

时域的零填充为您提供了更高的频率解决方案，但没有新的信息，因此它实质上提供了在频域中的内插。根据信号的性质和所需的精度，您可以通过对N个点进行常规FFT获得额外的频率点，并进行适当的插值（线性，样条，pchip，sinc等）。

— 希尔玛
source

令

是次数为

的多项式（可能具有复系数

）。我们在评估它

点

，其中

是

x (z) = \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i} z^{i}

$x(z)=\sum_{i=0}^{N-1}x_iz^{i}$

x_{i}

$x_i$

N - 1

$N-1$

N

$N$

α^{n}, 0 \leq n \leq N - 1

$\alpha^n, 0\leq n\leq N-1$

α = \exp (- j 2 π / N)

$\alpha=\exp(-j2\pi/N)$

N

$N$ 统一个根得到

号码

。这些是单位圆上

等距点处的

值。我们真正需要的是的值

在

，其中

，其是

N

$N$

X_{n} = x (α^{n})

$X_n=x(\alpha^n)$

x (z)

$x(z)$

N

$N$

x (z)

$x(z)$

β^{n}, 0 \leq n \leq N - 1

$\beta^n, 0\leq n\leq N-1$

β = \exp (- j 2 π / 4 N)

$\beta=\exp(-j2\pi/4N)$

单位圆的第一象限上的

个点。我看不到线性，样条曲线等插值如何工作。请解释。

N

$N$

— Dilip Sarwate

抱歉，我在先前的评论中倒数第二句应该是单位圆的第四个象限。由于

，每第四个所需的值

已经被计算由FFT：

。

β^{4} = α

$\beta^4 = \alpha$

x (β^{4 k})

$x(\beta^{4k})$

x (β^{4 k}) = x (α^{k})

$x(\beta^{4k})=x(\alpha^k)$

— Dilip Sarwate

我怀疑很难进行像样的内插比执行较大的FFT还要困难。

— Mark Borgerding 2011年

假设您有128点FFT和12800Hz采样率。128点FFT给出0Hz，100Hz，200 Hz，300Hz等的值。零填充的作用是将频率分辨率提高到0 Hz，25Hz，50 Hz，100Hz等。这可以看作是插值问题。对我来说，数学上需要精确执行128阶正弦圆弧插值。那当然不值得打扰，但是根据应用程序和所需的精度，低阶插值就足够了

— Hilmar