FFT时域平均值与频点平均值

我对生理数据进行了多次试验。我正在进行基于频率的分析，以分析某些特定频率下的功率（振幅）。是对多个相等长度的试验进行平均，然后对平均信号进行一次FFT，而不是针对每个试验计算FFT，然后对频点进行平均，是否相同？实际上，我发现情况并非如此。

具体来说，信号自然具有很强的1 / f分量，如果我计算每个单独试验的FFT，然后平均每个频点的幅度（实数部分），就会增强这一点。这两个相等吗？有正确的做事方法吗？还是应该在什么原则条件下在时域平均与频点平均之间进行选择？

让我澄清一下。

• 傅立叶变换并不能代表信号的直方图。傅立叶变换是一种线性变换，它将信号从时域（复函数）传递到频域（另一个复函数）。它需要一个复杂的功能到另一个复杂的功能。
• 如上面的海报指出的那样，傅里叶变换是线性的。
• 如上所述，样品的阶段很重要。如果逐项试验数据的相位不同，则您不希望在进行傅立叶变换之前进行平均，但也不想在进行傅立叶变换之后进行平均。您想要在傅立叶变换和范数后求平均值。我将在下面详细说明需要做什么。

这里的主要问题是这个问题是错误的。它不是“我应该在平均之前或之后进行傅立叶变换”。因为它不会因傅立叶变换的线性而有所不同。

要问的正确问题是“我应该在求平均值之前还是求平均值之后取傅立叶变换的幅度”。对于这个问题，答案是之前。

这是详细信息。

假设您的采样数据由以下序列表示：

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

$d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

$\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

$d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

至于您应该做什么，您应该对单个试验进行傅立叶变换（通过FFT），获得单个试验的幅度，然后将它们平均起来。

$1/f$$1/f$

$1/f$$1/f$

$1/f$

$1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

$1/f$

同样重要的一个问题是，平均能买到什么？更重要的是如何解释结果？明天再进行更深入的讨论：p

首先，FFT是一种算法。该变换称为傅立叶变换！它代表信号的直方图。在离散情况下，频域中的高读数意味着该频率下的大量能量。

您不应在FFT之前对数据进行平均，因为相位信息会导致数据发生重大变化。

想象两个样本，每个样本都包含一个纯余弦。在现实世界中，您永远不会在完全相同的起点上捕获此余弦。一个余弦将被替换为另一余弦（或者两个余弦将被替换为开始。数学上这是说y1 = cos（wt-A）y2 = cos（wt-B）其中A和B是偏移。在您的模型中两个更好地表现为同一件事，通过一点数学运算，我就可以选择这些值，使y2-y1 = 0。零的平均值为零，并且完全不是您想要的值，这是相位问题。

如果您的目标是找到应在整个频谱之间求平均的平均频谱，请不要对信号求平均！

除非我完全不了解或误解您的问题，否则答案是肯定的：通过DFT的线性度，对信号进行平均时间，然后取平均值的DFT等于对信号的DFT进行平均。

为了说明这一点，让我们定义一些变量：

• $x_{n}[\ell]$$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$$\ell^{th}$$k$

时域中的“平均”信号由给出$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$

切换求和顺序，我们可以写

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

但这与

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

这与平均每个Trival的DFT相同。这就是我们想要展示的。