什么是“随机抽样”？

“随机采样”到底是什么意思，它与常规的Nyquist-Shannon采样定理有很大不同吗？它与抽样随机过程有关吗？

随机采样与随机波形采样无关。这仅表示，不是按固定间隔采样，而是随机采样波形。

回想一下，在根据Nyquist-Shannon采样定理的采样方案中，上的连续信号被采样为，其中是采样间隔，是采样频率。如果信号中的最大频率为，则必须使得以避免混叠。为了便于稍后在答案中与随机抽样进行比较，让我以与通常略有不同的形式重新定义抽样，如下所示：$x(t)$$\mathbb{R}$$x[n]=x(nT),\ n\in\mathbb{Z}$$T$$f_s=1/T$$f_{max}$$f_s$$f_s\geq 2f_{max}$

$$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s\tau -1}\delta(t-nT)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$$ ，其中是Dirac增量函数，而仅在间隔上采样。$\delta(t)$$x(t)$$[0,\tau]$

如果您真的考虑过，那么在实践中定期采样是相当有限的。可以在几个地方使作物生长起来，并且可能会产生莫尔图案，这是众所周知的可见效果，可以通过在电视上拍摄常规图案的照片在家中复制这些图案（以下示例）。

但是，这始终是相机的问题，但如果您直接看到图案，就永远不用眼睛！原因是因为与相机中的CCD不同，视网膜中的感光器没有以规则的样式布置。随机采样背后的想法（不一定是导致其发展的想法）与眼睛中感光器的非规则布局非常相似。这是一种抗锯齿技术，通过打破采样中的规律性来起作用。

在随机采样中，信号中的每个点都有非零的采样概率（与常规采样不同，在常规采样中某些部分将永远不会采样）。一个简单的统一的随机采样方案可以在相同的时间间隔来实现为$[0,\tau]$

$$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s \tau -1}\delta(t-t_n),\quad t_n\sim \mathcal{U}(0,\tau)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$$

其中是区间上的均匀分布。$\mathcal{U}(0,\tau)$$[0,\tau]$

通过随机采样，无需讨论“奈奎斯特频率”，因此混叠将不再像以前那样成为问题。但是，这是有代价的。您获得的抗锯齿效果会因系统中的噪声而丢失。随机采样会引入高频噪声，尽管对于某些应用程序（尤其是在成像中），混叠比噪声要强得多（例如，您可以在上面的图像中轻松看到摩尔纹图案，但斑点噪声程度较小） ）。

据我所知，随机采样方案几乎总是用于空间采样（在图像处理，计算机图形学，阵列处理等方面），而时域中的采样仍然占主导地位（我不确定人们是否会费心地时域中的随机抽样）。有几种不同的随机采样方案，例如泊松采样，抖动采样等，如果您感兴趣的话可以查阅。有关该主题的一般低调介绍，请参见

MAZDippé和EH Wold，“通过随机采样进行抗锯齿”，SIGGRAPH，第1卷。1985年第19卷第5期，第69-78页。