PSD（功率谱密度）说明

我试图了解PSD的计算方式。我看过我的一些通讯工程教科书，但无济于事。我也在网上看过。 维基百科似乎是最好的解释。但是，我迷失了他们决定制作CDF（累积分布函数）的部分，然后由于某种原因决定将其与自相关函数相关联。

我想我不明白的是，自相关与计算PSD有什么关系？我以为PSD就是的傅立叶变换$P(t)$（其中$P(t)$是信号相对于时间的功率）。

没错，PSD与计算信号功率的傅立叶变换有关，并猜测它的作用。但是首先让我们看一下PSD和自相关函数之间的数学关系。

1. 记号：

   • 傅立叶变换： $$\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$$
   • （时间）的自相关函数： $$R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$$

2. 让我们证明自相关函数的傅立叶变换确实等于我们的随机信号的功率谱密度。$x(t)$

= ＆Integral; ∞ - ∞＆Integral; ∞ - ∞ X （吨）X （吨+ τ ）ë - Ĵ ω τ d 吨d τ = ∫ ∞ - ∞ X （吨）

$$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$$ =X（ω）＆Integral;∞-∞X（吨）èĴω吨d $$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$$ $$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$$

$$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$$

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这是什么意思呢？ 注意：此说明有点“ hacky”。但它去了

傅立叶变换告诉我们信号的频谱分量。在我们的例子中，信号是随机的；因此，尝试计算信号的频谱分量将毫无意义，因为对于随机过程的每种实现，您都将具有不同的表达式。$\mathcal{F}[x(t)]$

如果您采用傅立叶变换的期望值呢？这行不通。让我们以零均值信号为例。

$$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$$

相反，如果您对信号的平方进行傅立叶变换，该怎么办。

$$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$$

$P(t)$

参考文献：

[1]通讯1，PL。伦敦帝国理工学院Dragotti

[2]白噪声和估计，F。Tobar [未发布的报告]

很好的推导，但我认为您可以更轻松地完成此操作

$r(t) = x(t)*x(-t)$

时域中的卷积是频域中的乘法。

时域中的时间翻转在频域中是“复共轭”。

$$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$$