白噪声的相位和幅度响应是什么？

我想在频域中创建白噪声，然后使用python将其转换为时域。为了理解这个问题，我只是在时域中产生白噪声，然后将其转换为频率域：

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

我没有完全按照我的预期看： 问题：

• 白噪声不应该具有平坦的幅度响应吗？（所有频率相等）
• 标准偏差（在我的示例中为1）与幅度和相位之间是什么关系？

先感谢您！

白噪声不应该具有平坦的幅度响应吗？（所有频率相等）

的预期白噪声的幅度响应是平坦的（这就是JasonR调用功率谱密度）。白噪声序列的任何特定实例都不会具有精确的平坦响应（这就是JasonR的评论所称的功率谱）。

实际上，白噪声的傅立叶变换就是...白噪声！

标准偏差（在我的示例中为1）与幅度和相位之间是什么关系？

标准偏差和相位之间没有关系。至于幅度，假设$n(t)$是平稳的白噪声，均值为零，标准差为$\sigma$。那么自相关（协方差）为：

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

这样的功率谱密度是只是$\sigma^2$（尽管离散时间，将有基于该信号的持续时间的比例）。

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来自评论的问题：

1. 当您说傅立叶变换也是白噪声时，当变换复杂时如何测量std-dev？真实的，虚构的部分还是某种组合？

假设我们的噪声是离散时间和是$n[m]$（零均值高斯白噪声方差$\sigma^2$）。然后，转换为：

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

预期值为：

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

实部的方差由下式给出：

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

I believe the imaginary part will behave the same way.

2. Could you please enlighten me how the duration of the signal relates to the power spectral density (for discrete time situations)

I believe that (based on the above derivation), the power spectral density (the expected value of the square of the DFT) will scale linearly as the duration.

3. If the phase is not affected by the std-dev, what determines the 3 degree amplitude, and the type of distribution (seems to be uniform rather than normal)

请查看此PDF文件第2页上的表。它表示，随您的陈述，系数的自变量（相位）将均匀分布。下表的屏幕截图。