白高斯噪声的方差

这似乎是一个简单的问题，毫无疑问，但这是一个问题，但我正在尝试计算高斯白噪声的方差，而没有任何结果。

加性高斯白噪声（AWGN）的功率谱密度（PSD）为而自相关为，那么方差是无限的吗？ $\frac{N_0}{2}$ $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— 马兹
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噪声功率不是噪声电压的方差吗？也可能会询问在特定时间间隔内测得的功率方差（或标准偏差）。我认为中心极限定理将描述测量时间的持续时间与结果方差之间的关系。

Answers:

连续时间情况下的高斯白噪声不是所谓的二阶过程（意味着是有限的），因此，是的，方差是无限的。幸运的是，我们在自然界中永远不会观察到白噪声过程（无论是否为高斯）。它只能通过某种设备观察到，例如具有传递函数的（BIBO稳定）线性滤波器，在这种情况下，您得到的是功率谱密度为的平稳高斯过程和有限方差 $E[X^2(t)]$ $H(f)$ $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

在我的本讲义的附录中，您可以找到更多关于白高斯噪声的知识。

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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关于这对我的奇怪的是，

是用作的高斯分布的“方差”参数

不是序列的方差。正如您所说，这是因为

是无限的。感谢您的明确解释！

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK。对于离散时间和连续时间，高斯白噪声的概念之间存在差异。如果离散时间过程被认为是样品从连续时间进程，那么，考虑到所述采样器是具有有限带宽的装置，我们得到共同方差的独立的高斯随机变量序列

是什么你有答案。如果您的

是

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

其中

是OP的AWGN，然后

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d Ť

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

，不是

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

就像您拥有

一样（除非

）。

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate我阅读了您有趣的附录。但是您说：“但是，不应推断WGN流程中的随机变量本身就是高斯随机变量”。我对此并不完全了解。如果随机变量不是高斯变量（对我来说这是合理的，因为它们具有无限方差），为什么将这个过程命名为高斯变量？

— 冲浪者在

@Surferonthefall尝试写下白高斯噪声过程

所谓的高斯随机变量的概率密度函数

。对于所有

，密度函数的值为

。如何将

视为高斯随机变量？正如我在您阅读的文档中反复说过的那样，在白噪声过程中，人们不应该过分关注随机变量

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

。该过程是一个神话，它是由线性滤波器输出产生的结果定义的，而不是由其他任何东西定义的。

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

— Dilip Sarwate

抱歉，应显示为“ ....将极限取为

”而不是

。

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

— Dilip Sarwate

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} {[R}_{X X} [τ] & = & Ë [X [Ť] X [Ť + τ]] \\ = & {\begin{matrix} Ë [X [Ť]^{2}] ， 一世 F τ = 0 \\ 0 ， Ø Ť H Ë [R w 一世 s Ë \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— 彼得·K.
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是的，它是：除非您考虑到在这些大爆炸后的时代很难获得无限的力量。实际上，所有白噪声过程最终都在具有电容并因此限制有效带宽的物理实现中完成。考虑导致约翰逊R噪声的（合理）论点：它们会产生无限大的能量；实施中始终存在带宽限制。另一端也有类似情况：1 / F噪声。是的，很长一段时间以来，某些过程非常适合1 / f噪声；我测量了它们。但最终，您会受到物理定律的束缚。

— 恶棍
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