为什么在自己的信号上添加延时版本会产生滤波信号？

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我被问到这个问题，无法当场给出一个不涉及频域的答案（基本上，延迟序列的系数是FIR滤波器的脉冲响应）。

有谁能使这个过程变得“显而易见”？

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— 汤姆·基利
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当您将信号延迟秒钟并将其添加到信号本身时，您将以 Hz的频率抵消或归零信号分量，因为该信号分量的相位将精确地改变： $T$ $\frac{1}{2T}$ $\pi$

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ 在 Hz的奇数倍处也会发生类似的情况。对于附近的频率，消除并不完全，当然，即使是

Hz的倍数，信号分量的值也会加倍而不是被消除。类似地，如果延迟信号的幅度减小，则在

Hz等处的抵消未完成。

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

总之，信号被被滤除，因为不同的频率被传递通过具有不同的增益。

如果需要频域解释，则系统的传递函数是Matt的答案作为脉冲响应给出的傅里叶变换，即。，它是的非恒定函数（实际上，变化正弦从最大的到最小的如上所讨论的），等等是不是标量倍数。过滤！ $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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抱歉，延迟-从这里（滤波是干扰）到滤波是两个信号的卷积的必要性，我将如何处理？我可以从两个余弦公式的总和中（以代数方式）看到它，但是我不知道为什么。

— 汤姆·基利

请解释“过滤就是干扰”的含义。我不明白这个概念可言

— 迪利普Sarwate

好吧，我们刚刚确定（或者已经知道？）将两个相位不同的信号加在一起等效于经过一定时间的滤波，因为这些波会产生干扰。我将如何（在时域内）从那里转到卷积？

— 汤姆·基利

我还是不明白这个问题。是具有脉冲响应的滤波器的输出，其输入恰好是，如马特的答案已指出。如果要将输出写为卷积，则可以写其中，当您使用脉冲的过滤属性评估积分时，得到，您已经知道了。

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

— Dilip Sarwate

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如果将（线性时不变）滤波定义为卷积，那么答案很明显：信号和延迟版本的总和可以写成具有脉冲响应的卷积：其中是信号的两个版本之间的延迟。 $h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— 马特·L。
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如果信号的延迟相加形式的时间延迟恰好是任何周期内容的一个周期，则输出将累加增加。如果延迟恰好是任何正弦波分量的周期的一半，则该分量将产生相消干扰，从而将零归零输出。如果延迟为零，则信号将加倍。对于介于完全相消干扰或完全相加之间的频率/相位组合，相加结果也将介于两者之间。

根据输入的频率内容增加和减少输出是典型的滤波。

— hotpaw2
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