使用三角波代替正弦波的类似DFT的变换

我们知道DFT（离散傅里叶变换）将信号分解为多个正弦波频率。是否存在对三角形波执行相同操作的变换？

就我的目的而言，我只是在谈论一维信号（例如电压等）。我正在研究历史股票市场数据，我只想查看某些股票的反转。换句话说，我想使用此变换对股价执行“低通”操作。

编辑：如果是，我该怎么办？

我知道最能满足您需求的正交变换是“ 倾斜变换”。它基于锯齿波，但是某些基本函数确实类似于三角波：

（来源：应用傅立叶变换）

它是为图像编码/压缩而开发的，但它似乎是分析财务数据中长期线性趋势/逆转的合理的第一种方法。似乎[在线]免费提供了许多描述该变换的关键论文，但是以下论文可能有足够的细节来实现某些东西：

一种用于计算倾斜变换的截断方法及其在图像处理中的应用。MM Anguh，RR Martin。IEEE Trans。通信43（6），2103-2110，1995.（作者链接）（pdf链接）

具体来说，请参见第三节，该节给出了用于构造变换矩阵的递归关系。

一阶B样条是三角形，并且存在将任意信号表示为B样条之和的算法。如前所述，这些样条线不会形成矫形器，但这不一定是一件可怕的事情。

一个不错的起点是Unser撰写的有关有效B样条近似的文章。http://bigwww.epfl.ch/publications/unser9301.pdf

您可以使用三角波而不是正弦波进行变换，但这不是一个好的选择，因为它们不是正交的。正交性是变换向量的重要属性。

正交变换的性质

正交变换

您可以使用积分运算符的伴随（即cumsum），然后使用快速Walsh-Hadamard变换。

例如在Matlab中

n = 16;
H = fwht(eye(n))*sqrt(n); % Walsh-Hadamrd in full unitary matrix form
S = cumsum(eye(n)); % the integrator in full matrix form
T = H*S';  % cumsum along the rows of the W-H 

H中正值恒定的部分会积分，导致锯齿波倾斜；负值变为下降。

T不是单一的，它对尺寸拉伸有影响。从好的方面来说，它确实有一个快速的逆函数：另一个反数，后跟一个微分。

D = inv(S');  % difference matrix with an extra row at bottom for full rank
Tinv = D*H;   % inverse of T