预编码矩阵以保持DFT向量上的复杂共轭对称性的条件

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假设存在一个长度为N 的DFT向量，该向量在其中点附近表现出复杂的共轭对称性，即，等。和分别是DC和奈奎斯特频率，因此是实数。其余元素很复杂。 $\mathbf{X}$ $X(1) = X(N-1)^*$ $X(2) = X(N - 2)^*$ $X(0)$ $X(N/2)$

现在，假设有一个矩阵，大小为，它与向量X相乘。 $\mathbf{T}$ $N \times N$

\begin{aligned} Y = T X \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$

问题是：

在什么条件下，对于矩阵，保留了所得矢量中点周围的复共轭对称性？ $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

这个问题的动机是试图提出一个预编码器矩阵，该矩阵会产生一个IFFT为实的预编码（预均衡）符号。 $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

编辑：

谢谢@MattL。和@niaren。关于这个问题的困难是找到必要的条件。马特的答案确实足够。进行以下修改也是足够的：

第一行和第一列不必为零。相反，它们可以是非零的，只要它的值在中点周围呈现复杂的共轭对称性，它的第一个值是实数，第个值是实数，就像该符号一样。对于第列，第行和主对角线也可以这样说。 $(N/2+1)$ $(N/2+1)$ $(N/2+1)$

其次，可以在右上角和左下角之间建立左上角和右下角矩阵之间的相同对应关系，即选择从到矩阵，从左向右翻转，上下翻转并取共轭，然后放在左下角。在MATLAB上，将是： $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ $t_{2,N/2 + 2}$ $t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

此结构类似于DFT矩阵的结构。那是必要条件吗？

编辑（2）：

以下代码为任何实数 matrix实现了这样一个有效的运算符： $N \times N$ $\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

编辑（3）：

有趣的是，提供了充分的条件。这是由于以下事实： $\mathbf{T}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(W A W^{H})}^{- 1} \\ = {(W^{H})}^{- 1} A^{- 1} W^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$ 其中是DFT矩阵。

W

$\mathbf{W}$

由于。该等式变为： $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(N W^{- 1})}^{- 1} A^{- 1} \frac{1}{N} W^{H} \\ = W A^{- 1} W^{H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$

最后，由于是实值，如果是完整等级，则就足够了。 $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{T}^{-1}$

dft equalization linear-algebra

— 伊戈劳阿德
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在详细介绍之前，我会先讨论一下，但仅供您考虑：即使对角矩阵的限制不是必需的，也可以在不失一般性的情况下完成，因为所有可能可以生成向量。你同意吗？

T

$\mathbf{T}$

Y

$\mathbf{Y}$

— Matt L.

当然，我同意这一点。

— igorauad

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我认为矩阵中的条目必须服从。这就是说，第行中的条目与第行中的系数相同，但是系数经过共轭和反转。在图案为是 $\bf{T}$ $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$ $N-n+1$ $\bf{T}$ $N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

我相信有人会提出更好，更准确的答案。

— 尼亚人
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直流分量呢？的DC分量是第一行与（复数）向量的内积。这将如何实现实值？

Y

$\mathbf{Y}$

T

$\mathbf{T}$

X

$\mathbf{X}$

— Matt L.

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我把这留给了OP，让他们把这两行塞满咳嗽。但是我看不出如何得出仅对角矩阵有效的结论（不是说您错了）。

— niaren

我可能确实是错的。当我有更多时间时，我会再考虑一下……让我们这样说：对角矩阵（具有共轭对称性）在任何情况下都可以工作。

— Matt L.

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如果我没记错的话，独立于向量的唯一解决方案是对角线（复数）矩阵，其中对角线满足复共轭对称性。 $\mathbf{T}$ $\mathbf{X}$

编辑：好的，我弄错了。对角线很好，但这不是必需的。矩阵必须具有以下一般结构：元素和必须是实数值（它们对应于DC和Nyquist）。除，第一行和第一列仅包含零。对于元素至选择仲裁 $\mathbf{T}$ $t_{11}$ $t_{N/2+1,N/2+1}$ $t_{11}$ $t_{22}$ $t_{N/2,N/2}$ $(N/2-1)\times (N/2-1)$ 矩阵。然后，通过交换所有行（第一行成为最后一个，第二行成为第二个最后一个，依此类推），通过从左向右翻转行并进行共轭，使用此仲裁矩阵来形成新矩阵。然后将此子矩阵放在总矩阵右下角。所有其他元素必须为零。我知道如果没有可视化效果，这很难理解，所以以后有更多时间时再添加一个。 $\mathbf{T}$ $\mathbf{T}$

— 马特·L。
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