线性相位FIR滤波器4种

我知道有4种具有线性相位的FIR滤波器，即恒定的群延迟：（M =脉冲响应的长度）

1. 脉冲响应对称，M =奇数

2. 曝光 分别 对称，M =偶数

3. 曝光 分别 反对称的，M =奇数

4. 曝光 分别 反对称，M =偶数

每个都有其特点。具有线性相位设计的FIR滤波器最常使用这些类型中的哪一种？为什么？:)

从这四种类型的线性相位滤波器中选择一种时，主要要考虑以下三点：

1. 在z = 1和z = − 1时的零点的约束$H(z)$$z=1$$z=-1$

2. 整数/非整数组延迟

3. 相移（线性相位除外）

对于类型I滤波器（抽头的奇数，甚至对称性），在$z=1$和处的零上没有任何限制$z=-1$，相移为零（线性相位除外），并且群延迟为整数值。

II型滤波器（偶数个抽头，偶数对称）在始终为零（即采样频率的一半），相移为零，并且具有非整数群延迟。$z=-1$

III型滤波器（奇数抽头，奇数对称）在和z = − 1时始终为零（即在f = 0和f = f s / 2时），它们具有90度相移和一个整数小组延迟。$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

IV型滤波器（偶数个抽头，奇数对称）在始终为零，相移90度，并且具有非整数群延迟。$z=1$

这意味着（除其他事项外）以下内容：

• I型滤波器非常通用，但是在需要90度相移的情况下（例如，用于微分器或希尔伯特变压器的），不能使用它们。

• 由于在处为零，即在f = f s / 2处为零，因此通常不将II型滤波器用于高通或带阻滤波器。它们也不能用于需要90度相移的应用中。$z=-1$$f=f_s/2$

• III型滤波器不能用于标准频率选择滤波器，因为在这种情况下，通常不希望90度相移。对于希尔伯特变压器，由于和z = − 1处的零，III型滤波器在非常低和非常高的频率下具有相对较差的幅度近似。另一方面，III型希尔伯特变压器可以比IV型希尔伯特变压器更有效地实现，因为在这种情况下，每隔一个抽头为零。$z=1$$z=-1$

• 出于与III型滤波器相同的原因，IV型滤波器不能用于标准频率选择滤波器。它们非常适合于微分器和希尔伯特变压器，并且它们的幅度近似通常更好，因为与III型滤波器不同，它们在处不为零。$z=-1$

• 在某些应用中，整数组延迟是理想的。在这些情况下，最好使用I型或III型滤波器。

具有反对称脉冲响应的滤波器在（即频率0）时都为零。因此，如果您需要实现高通滤波器或类微分滤波器（甚至带通），则必须使用类型3和4。$z=1$

同样，如果您的滤波器是低通类型，则适用类型1和2。

因此，这取决于您需要设计的过滤器类型，而不是更常见的。

然后，就相位响应而言，类型1和类型3与类型2和类型4之间也存在差异。会有一个额外的两种类型之间。即使您不在乎实际引入的延迟，在高通滤波器的某些情况下，这种半采样差异对于收敛也很重要（额外的相位可使您的频率响应在θ = π处连续，因此可以更快的收敛速度，并且需要更少的系数）。$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

在实现方面，可以有效地实现所有4种类型，而无需重复两次相同的系数。

当然，您需要整个M尺寸的延迟线。但是，您不必将每个抽头输出乘以其自己的系数，而是先将两个对应的输出相加（或相减），然后再乘以系数一次。

例如，如果脉冲响应是代替实施（1型过滤器），ÿ [ Ñ ] = 一个X [ n ] + b x [ n − 1 ] + a x [ n − 2 ]，得到$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$。$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

由于已经有两个非常好的答案，因此我将给出一些非常基本的示例，可以根据这些示例对其他答案中给出的属性进行完整性检查。零位置和相位响应可直接获得。

对称，M =奇数

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

symmetrical, M=even

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

antisymmetrical, M=odd (according to [1], $h[N/2] = 0$ for this case)

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrical, M=even

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] a good reference mitrappt