非对称伯努利矩阵是否满足RIP？

限定感测矩阵通过的概率为，和的概率为。是否满足受限的等距特性？ $n\times N$ $A$ $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

作为参考，以下论文回答了对称情况：

RG Baraniuk，MA Davenport，RA DeVore和MB Wakin，“随机矩阵的受限等距特性的简单证明”，构造近似，28（3），第253-263页，2008年12月。（pdf）

compressive-sensing

— 奥利维亚
source

这可能是一个指针：ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379（不幸的是，它是收费的，我没有找到它的OA副本）。我不了解本文的详细内容，但是我可以一眼看出，他们没有按照您的要求考虑一般情况。他们认为p = 1/2。而且，我不知道它们对此类矩阵的RIP有多彻底。

— Thomas Arildsen 2013年

这也可能是一个提示：rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf（第98页）。不幸的是，看起来他所谓的伯努利随机变量是随机+/- 1-而不是0/1（我将其称为Rademacher）。

— Thomas Arildsen 2013年

请允许我重复我对stats.SE相同的帖子（现在已删除）发表评论的要点：这将有助于使这个问题更加精确，并指出您真正感兴趣的是什么，并且您正在努力适应。@Thomas的评论很重要；我们还不知道您感兴趣的稀疏度是多少（即阶数）。即使考虑Rademacher函数，答案显然也不是统一的（以），因为为（或足够接近）），以使子矩阵全都具有（很大的可能性）。（续）

p

$p$

p

$p$

1

$1$

— 红衣主教

通过选择一个序列作为的函数，对于任何大小矩阵的某些都将使它成立。另一方面，对于固定，如果要修改结构，以使的概率为而的概率为，则答案显然是肯定的，因为这是基于与零均值亚高斯随机矩阵有关的更普遍的理论。

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$

p

$p$

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$

(1 - p)

$(1-p)$

— 主教

感谢@cardinal，矩阵不是零均值的，但是亚高斯随机矩阵的理论确实回答了这个问题。我不知道如何能够满足RIP给它不保留规范，但很明显有一个适当的比例，做

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— 奥利维亚

正如其他人在评论中指出的那样，答案是“否”。矩阵的非零均值指示非零均值向量（例如，全为1）比具有零均值（例如，均匀随机为+ 1，-1）的随机向量具有更高的增益。

考虑A的平方范数乘以常数向量y期望为n *（p * N）^ 2。（期望的重复）

从（-1，+ 1）均匀抽取的向量x的A的平方范数预计为n *（p * N）。（可通过二项式分布的方差之和来计算）

x和y的范数是相同的，但是变换范数的期望相差p * N-随着维数的增大而发散。

这是matlab代码，以帮助演示。

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— 马克·博格丁
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