如何找到信号的导数和二阶导数的平滑估计？

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我有一个信号在处采样：其中。我想找到信号的一阶和二阶导数：和。 $\Delta t$ $f_i(t_i=i\Delta t)$ $i = 0,\ldots,n-1$ $f'(t)$ $f''(t)$

我的第一个想法是通过集中差异来估计导数：

\begin{aligned} f^{'} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - f (t_{i - 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - 2 f (t_{i}) + f (t_{i - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

但是，信号可能会有很多高频噪声，可能会导致 $f'$ 和快速波动 $f''$ 。

找到 $f'$ 和 “平滑”估计值的最佳方法是 $f''$ 什么？

filters smoothing

— 安迪
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这可能更多取决于您的数据。只需知道，由于微分是线性运算，因此，如果选择任何线性滤波器来平滑f'和f''，则等效于使用相同的滤波器平滑f，然后取其导数。

您可以张贴一些图片或有关您要区分的信号的更多信息吗？可能您正在寻找某种低通滤波器来平滑信号。几个非常简单的选择包括单极递归滤波器，例如或Hann滤波器，它只是将带有Hann窗口的信号。Hann滤波器选项很好，因为它是线性相位。如果知道您关心的频率范围，则可以在频域中设计一个合适的低通滤波器。 $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$

— 施纳尔夫
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谢谢schnarf！因此，由于先进行平滑再进行差分等于先进行差分再进行平滑；我还可以通过例如Hann窗口进行卷积来平滑原始信号？在更大的跨度上使用有限差分的简单方法怎么样：f'（t）〜= [f（t + 10 * Dt）-f（t-10 * Dt）] /（20 * Dt），这会给出一个很好的平滑导数估计？

— 安迪

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所述Savitzky-格雷滤波器提供的信号，并前几个衍生物的平滑估计。

可以在此处找到MATLAB实现。

— 激光眼镜
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