移动平均滤波器的截止频率是多少？

我需要设计一个截止频率为7.8 Hz的移动平均滤波器。我以前使用过移动平均滤波器，但据我所知，唯一可以输入的参数是要平均的点数...这与截止频率有什么关系？

7.8 Hz的倒数是〜130 ms，我正在处理以1000 Hz采样的数据。这是否意味着我应该使用130个样本的移动平均滤波器窗口大小，还是这里缺少其他内容？

移动平均滤波器（有时通称为Boxcar滤波器）具有矩形脉冲响应：

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

或者，换句话说：

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

记住离散时间系统的频率响应等于其冲激响应的离散时间傅立叶变换，我们可以按以下方式计算：

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

为了简化此过程，我们可以使用已知公式计算几何序列的前项$N$的总和：

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

对于您的情况，我们最感兴趣的是滤波器的幅度响应。使用几个简单的操作，我们可以以更易于理解的形式获得它：$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

这看起来似乎不太容易理解。但是，由于Euler的身份，请记住：

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

因此，我们可以将以上内容写为：

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

如前所述，您真正关心的是频率响应的幅度。因此，我们可以采用上述幅度来进一步简化它：

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

注意：我们可以删除指数项，因为它们不会影响结果的大小；对于所有值。由于对于任意两个有限复数和，我们可以得出结论，指数项的存在不影响整体幅度响应（相反，它们影响系统的相位响应）。ω | x y | = | x | | y | X $|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

幅度括号内的结果函数是Dirichlet核的形式。它有时被称为周期性Sinc函数，因为它在外观上类似于Sinc函数，但是却是周期性的。

无论如何，由于截止频率的定义有些不确定（-3 dB点？-6 dB点？第一个旁瓣为零？），因此您可以使用上述方程式来求解所需的任何内容。具体来说，您可以执行以下操作：

1. 设置到与您想要的截止频率处的滤波器响应相对应的值。$|H(\omega)|$

2. 将设置为截止频率。要将连续时间频率映射到离散时域，请记住，其中是您的采样率。ω = 2 π $\omega$ ˚F$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. 找到使您在方程式的左侧和右侧之间达到最佳一致性的值。那应该是您的移动平均线的长度。$N$

$N$$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

相反的是

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

对于较大的N，该公式是渐近正确的，并且对于N = 2，该公式的误差约为2％，对于N> = 4，该公式的误差小于0.5％。

$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

$MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

以上所有内容均与-3dB截止频率有关，这是本文的主题。

有时，在阻带中获得与一阶IIR低通滤波器（单极LPF）的衰减曲线（具有给定的-3dB截止频率）相当的衰减曲线是很有趣的（这种LPF也称为泄漏积分器，的极点不完全位于直流，而是靠近直流）。

$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

如果要获得一种具有与该IIR滤波器相似的噪声滤波功能的MA滤波器，并匹配3dB截止频率以使其相同，则在比较两个频谱时，他会意识到MA滤波器的阻带纹波最终会结束比IIR滤波器低约3dB。

为了获得与IIR滤波器相同的阻带纹波（即，相同的噪声功率衰减），可以对公式进行如下修改：

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$