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通过在参数曲线上分布极点和零点来进行滤波器设计
一个NNN阶巴特沃斯低通滤波器的截止频率的ωcωc\omega_c可以通过分发被设计NNN相对于参数均匀磁极0<α<10<α<10 < \alpha <1上的s平面参数曲线f(α)=ωcei(π/2+πα)f(α)=ωcei(π/2+πα)f(\alpha) = \omega_c e^{i(\pi/2+\pi\alpha)}，这是一个半圆： 图1. 6阶巴特沃兹滤波器的极点（CC BY-SA 3.0 Fcorthay） 值得注意的是，相同的参数曲线可用于任何给出非归一化传递函数的滤波器度NNN： H(s)=∏k=1N1s−f(2k−12N),(1)(1)H(s)=∏k=1N1s−f(2k−12N),H(s)=\prod_{k=1}^N\frac{1}{s-f\left(\frac{2k-1}{2N}\right)},\tag{1} 并且所得的过滤器始终是Butterworth过滤器。也就是说，没有其他具有相同极点和零点数量的滤波器在频率ω=0ω=0\omega = 0和，幅度频率响应的消失导数更高ω=∞ω=∞\omega = \infty。的一组具有相同的截止频率巴特沃斯滤波器的ωcωc\omega_c形成巴特沃斯的一个子集来过滤该参数曲线f(α)f(α)f(\alpha)是唯一的。子集是无限的，因为NNN没有上限。 更一般地，除非它们源自参数曲线，否则不对无穷大的极点和零点进行计数，任何具有NNpNNpNN_p极点和NNzNNzNN_z零点，NNN个整数和Nz/NpNz/NpN_z/N_p个整数的非负分数的滤波器都具有未归一化的传递函数形式： H(s)=∏NNzk=1(s−fz(2k−12NNz))∏NNpk=1(s−fp(2k−12NNp)),(2)(2)H(s)=∏k=1NNz(s−fz(2k−12NNz))∏k=1NNp(s−fp(2k−12NNp)),H(s)=\frac{\prod_{k=1}^{NN_z}\left(s-f_z\left(\frac{2k-1}{2NN_z}\right)\right)}{\prod_{k=1}^{NN_p}\left(s-f_p\left(\frac{2k-1}{2NN_p}\right)\right)},\tag{2} 其中fp(α)fp(α)f_p(\alpha)和fz(α)fz(α)f_z(\alpha)是参数曲线，可以描述极点中极点和零点的分布N→∞N→∞N\to\infty。 问题1：除了由最佳准则定义的Butterworth以外，还有哪些其他类型的滤波器具有无限的子集，每个子集分别由分数Nz/NpNz/NpN_z/N_p和每方程式的一对参数曲线fp(α)fp(α)f_p(\alpha)和fz(α)fz(α)f_z(\alpha)。2，滤波器仅相差NNN？类型I Chebyshev过滤器，是的；通过它们，极点位于参数角为的椭圆的一半上αα\alpha。Butterworth和I型和II型Chebyshev滤波器都是椭圆滤波器的特例。需要明确的是，“无限子集”并不是指无限数量的子集，而是无限大小的子集。 问题2：非Butterworth-非Chebyshev椭圆滤波器是否具有这样的无限子集？ 问题3：难道每个椭圆滤波器都是这样的无限子集吗？ 如果所有椭圆滤波器的无穷集是椭圆滤波器的互斥和穷举无穷子集的并集，则每个子集由用于放置极点的单个参数曲线和用于放置零的单个参数曲线以及不可逆部分的数量定义零到极点，然后可以通过优化参数曲线而不是针对任何特定顺序的滤波器来进行数值优化以获得椭圆滤波器。最优曲线可以重复用于多个滤波器阶数，从而保持最优性。上面的“ if”是为什么我问问题2和3。问题1是关于将方法扩展到其他最优标准的。 椭圆滤波器的零极点图肯定看起来像有一些基本曲线： 图2. s平面上的椭圆低通滤波器的对数幅度。白点是极点，黑点是零。 一个线索是每等式。如图1所示，多个滤波器之间必须共享某些值，αα\alpha因此某些极点和零位置必须共享： 图5.通过曲线参数αα\alpha获得的不同滤光度NNN。请注意，对于几个滤波器阶数，我们有例如α=0.5α=0.5\alpha = 0.5或α=0.25α=0.25\alpha = 0.25和α=0.75.α=0.75.\alpha = 0.75. 特别是，对于具有NNN极点或零个的滤波器，它们也都出现在具有3nN3nN3nN相同的滤波器中，其中nnn是任何正整数。 根据用户A_A的要求，展示了极其干燥的幽默，我看了一下Bernoulli的切线作为s平面参数曲线的示例： 图4.伯努利刑法 下面的参数曲线给出了伯努利双引理线的左半部分，参数0<a<10<a<10 < a < 1，并且在处开始和结束s=0s=0s=0： f(α)=−2–√sin(πα)cos2(πα)+1+i2–√sin(πα)cos(πα)cos2(πα)+1f(α)=−2sin(πα)cos2(πα)+1+i2sin(πα)cos(πα)cos2(πα)+1f(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}\sin(\pi\alpha)}{\cos^2(\pi\alpha) …