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求正弦波的多项式近似
我想近似由下式给出的正弦波sin(πx)sin(πx)\sin\left(\pi x\right)通过将多项式波形成形器为一个简单的三角波，由该函数产生的 T(x)=1−4∣∣12−mod(12x+14, 1)∣∣T(x)=1−4|12−mod(12x+14, 1)|T\left(x\right)=1-4\left|\tfrac{1}{2}-\operatorname{mod}(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4},\ 1)\right| 其中mod(x,1)mod(x,1)\operatorname{mod}(x, 1)是的小数部分xxx： mod(x,y)≜y⋅(⌊xy⌋−xy)mod(x,y)≜y⋅(⌊xy⌋−xy) \operatorname{mod}(x, y) \triangleq y \cdot \left( \left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor - \frac{x}{y} \right) 一个泰勒级数可以用来作为波形成形。 S1(x)=πx2−πx233!+πx255!−πx277!S1(x)=πx2−πx233!+πx255!−πx277!S_1\left(x\right)=\frac{\pi x}{2}-\frac{\frac{\pi x}{2}^3}{3!}+\frac{\frac{\pi x}{2}^5}{5!}-\frac{\frac{\pi x}{2}^7}{7!} 给定上述函数，S1(T(x))S1(T(x))S_1(T(x))将为我们提供正弦波的近似近似。但是，我们需要提高到该序列的7次方才能得到一个合理的结果，并且峰值有些低，并且斜率也不会完全为零。 代替泰勒级数，我们可以使用遵循几个规则的多项式波整形器。 必须通过-1，-1和+ 1，+ 1。 -1，-1和+ 1，+ 1处的斜率必须为零。 必须对称。 满足我们要求的简单功能： S2(x)=3x2−x32S2(x)=3x2−x32S_2\left(x\right)=\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{2} 的图表S2(T(x))S2(T(x))S_2(T(x))和sin(πx)sin(πx)\sin\left(\pi x\right)相当接近，但不是亲如泰勒级数。在峰值和零交叉点之间，它们明显偏离一点。满足我们要求的更重，更准确的功能： S3(x)=x(x2−5)216S3(x)=x(x2−5)216S_3\left(x\right)=\frac{x(x^2-5)^2}{16} 就我的目的而言，这可能足够接近，但我想知道是否存在另一个函数，该函数更接近正弦波，并且在计算上更便宜。我对如何找到满足上述三个要求的功能有很好的了解，但是我不确定如何找到满足这些要求并且最接近正弦波的功能。 有什么方法可以找到模拟正弦波的多项式（当应用于三角波时）？ 为了澄清，我不一定只寻找奇对称多项式，尽管这些是最直接的选择。 类似以下功能的内容也可以满足我的需求： S4(x)=3x2+x24+x44S4(x)=3x2+x24+x44S_4\left(x\right)=\frac{3x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4} 这可以满足负范围内的要求，也可以使用分段解决方案将其应用于正范围内。例如 3x2−P(x,2)4−P(x,4)43x2−P(x,2)4−P(x,4)4\frac{3x}{2}-\frac{P\left(x,2\right)}{4}-\frac{P\left(x,4\right)}{4} 其中是有符号幂函数。PPP 我也会对使用有符号幂函数来支持分数指数的解决方案感兴趣，因为这为我们提供了另一个“扭曲旋钮”而无需添加其他系数。 a0x …