到目前为止似乎尚未提及的是不稳定算法和病态问题的概念。我将首先讨论前者，因为对于新手数字学家来说，这似乎是一个更常见的陷阱。
考虑计算（互惠）黄金分割率的幂φ=0.61803…；一种可行的解决方法是使用φ^n=φ^(n-2)-φ^(n-1)以φ^0=1和开头的递归公式φ^1=φ。如果您在自己喜欢的计算环境中运行此递归并将结果与经过精确评估的能力进行比较，则会发现重要数字的缓慢消耗。这是在Mathematica中发生的情况：
ph = N[1/GoldenRatio];
Nest[Append[#1, #1[[-2]] - #1[[-1]]] & , {1, ph}, 50] - ph^Range[0, 51]
{0., 0., 1.1102230246251565*^-16, -5.551115123125783*^-17, 2.220446049250313*^-16,
-2.3592239273284576*^-16, 4.85722573273506*^-16, -7.147060721024445*^-16,
1.2073675392798577*^-15, -1.916869440954372*^-15, 3.1259717037102064*^-15,
-5.0411064211886014*^-15, 8.16837916750579*^-15, -1.3209051907825398*^-14,
2.1377864756200182*^-14, -3.458669982359108*^-14, 5.596472721011714*^-14,
-9.055131861349097*^-14, 1.465160458236081*^-13, -2.370673237795176*^-13,
3.835834102607072*^-13, -6.206507137114341*^-13, 1.004234127360273*^-12,
-1.6248848342954435*^-12, 2.6291189633497825*^-12, -4.254003796798193*^-12,
6.883122762265558*^-12, -1.1137126558640235*^-11, 1.8020249321541067*^-11,
-2.9157375879969544*^-11, 4.717762520172237*^-11, -7.633500108148015*^-11,
1.23512626283229*^-10, -1.9984762736468268*^-10, 3.233602536479646*^-10,
-5.232078810126407*^-10, 8.465681346606119*^-10, -1.3697760156732426*^-9,
2.216344150333856*^-9, -3.5861201660070964*^-9, 5.802464316340953*^-9,
-9.388584482348049*^-9, 1.5191048798689004*^-8, -2.457963328103705*^-8,
3.9770682079726053*^-8, -6.43503153607631*^-8, 1.0412099744048916*^-7,
-1.6847131280125227*^-7, 2.725923102417414*^-7, -4.4106362304299367*^-7,
7.136559332847351*^-7, -1.1547195563277288*^-6}
的所谓结果φ^41有错误的符号，甚至更早的时候，的计算值和实际值φ^39也没有共同的数字（3.484899258054952* ^-9 for the computed version against the true value7.071019424062048 *^-9）。因此，该算法不稳定，因此不应在不精确的算法中使用此递归公式。这是由于递归公式的固有性质：此递归有一个“衰减”和“增长”的解决方案，并且当有另一个“增长”解决方案乞求时，尝试通过正向解决方案来计算“衰减”解决方案。对于数字的悲伤。因此，应该确保他/她的数值算法是稳定的。
现在，讨论病态问题的概念：即使可能存在一种稳定的数值方法，也很可能是您的问题无法用算法解决。这是问题本身的问题，而不是解决方法。数值的典型示例是涉及所谓的“希尔伯特矩阵”的线性方程的解：
矩阵是病态矩阵的典范示例：尝试求解具有大希尔伯特矩阵的系统可能会返回不准确的解决方案。
这是Mathematica的演示：比较精确算术的结果
Table[LinearSolve[HilbertMatrix[n], HilbertMatrix[n].ConstantArray[1, n]], {n, 2, 12}]
{{1, 1}, {1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1,
1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
和不精确的算术
Table[LinearSolve[N[HilbertMatrix[n]], N[HilbertMatrix[n].ConstantArray[1, n]]], {n, 2, 12}]
{{1., 1.}, {1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1., 1.},
{1., 1., 1., 1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.},
{1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.}, {1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.},
{1., 1., 1., 0.99997, 1.00014, 0.999618, 1.00062, 0.9994, 1.00031,
0.999931}, {1., 1., 0.999995, 1.00006, 0.999658, 1.00122, 0.997327,
1.00367, 0.996932, 1.00143, 0.999717}, {1., 1., 0.999986, 1.00022,
0.998241, 1.00831, 0.975462, 1.0466, 0.94311, 1.04312, 0.981529,
1.00342}}
（如果您确实在Mathematica中进行了尝试，则会注意到一些错误消息，警告您出现不良情况。）
在这两种情况下，仅仅提高精度是无法治愈的。这只会延迟不可避免的数字侵蚀。
这就是您可能会面临的问题。解决方案可能很困难：首先，要么回到绘图板上，要么遍历期刊/书籍/其他内容，以查找是否有人提出了比您更好的解决方案；第二，您要么放弃，要么将问题重新表述为更容易解决的问题。
我给你留下戴安娜·奥利里的名言：
生活可能会给我们带来一些疾病，但没有充分的理由来解决不稳定的算法。