请解释一下函数an + b属于O（n ^ 2）和Θ（n）的说法。

假设我有一个线性函数f(n)= an+b，证明该函数属于O（n ²）和的最佳方法是什么Θ(n)？

我在这里不需要严格的数学运算。我需要一个程序员的答案。一些合理的解释方式。

^{这就是为什么我没有在数学问答中发布问题，而是在程序员问答中发布问题的原因。}

Big Oh符号（O，Theta，Omega）与功能的增长率有关。

当您实现算法时，它具有一定的特征，即在增加数据集时，运行时间如何变化。现在，您可以优化算法，使其运行速度提高100倍。当然，这很好，但从本质上讲，它仍然是相同的算法。同样，几年后，计算机的速度可能会是今天的两倍。

Landau符号将这些常数因素抽象化。它不在乎一种算法f是否总是总是比另一种算法快两倍g：也许g可以对其进行优化以使其运行速度提高4倍，或者您可以购买速度更快的硬件。如果从这个角度来看，您可能会说它们是“相同的”。（这并不是说您可以（总是）在实践中忽略恒定因素。）

大哦指定了一个上限，它类似于<=关系。

您会同意的1 < 2。这是否意味着1不能少于任何其他数字？当然不是。有无穷多个大于的数字1。

就增长率而言，它是相似的。O(n)表示线性增长（或更慢）的所有函数的集合。O(n^2)另一方面，表示所有这些函数，它们以二次逼近度（或更慢）增长。我相信您会同意线性函数的增长要慢于二次函数。

这就是为什么一个函数可以属于多个“ Big-oh”类的原因。

以下是对不同功能的比较：（来自Knuth's Concrete数学）

从左到右，功能增长更快。

另外，表示n ^ 2比n ^ 1增长快，因为2> 1。

定义

“ f增长更快或与g一样快”

“ f变慢或与g一样快”

以上两种的结合。它说函数f随着增长“相等快” g。这是一个等价关系。

解释

假设您有两种算法，f和g。

欧米茄

假设，这意味着无论您的预算如何，都无法将恒定的计算能力添加到系统中，从而f始终能够以的速度运行g。

大哦

假设，意味着您有足够的数据，无论您向系统中添加多少计算能力，其f运行速度总是比快g。

证明

如果您确实想证明这一点，则需要使用Landau符号的定义来证明您的函数满足必要条件。

所以，你需要找到值c，d，n_0使得条件成立。

这是您可以通过以下方式实现此目标的方法c：

重要的是要意识到，我任意定义c为小于a-1完全可以。Theta（g）的定义说“存在一个c”。只要大于0，它就可以是任何值。（如果a是正实数，则您需要稍微更改证明，因为a - 1实际上可能是负数）

（我假设a是正数，否则对于的大值，该函数将始终为负。n这对于表示运行时的函数没有意义。）

您可以尝试将其设置为上限，这非常相似。如果您不知道如何，我可以为您提供证明。

提示：从 d > a + 1

注意

重要的是，不要以错误的方式证明它。如果假设（an + b）在O（n）中并从那里去，则您还没有证明想要的东西。您将需要验证所有的步骤都走的方式，即不是=>你<=>。

在处理多项式时，您只关心多项式的次数。也就是说，因为an + b，您只在乎n。如果是这样an^3 + bn^2 + cn + d，您只会在乎n^3。

因此，次数为d的多项式总是in Θ(n^d)。简单。

现在我们要谈谈Θ和O之间的差异。从本质上讲，分别是==和之间的差异相同<=。因此，Θ(n)意味着它是永远的一个常数因子内n。O(n)表示它始终在n或小于的恒定因子内n。

这意味着，在任何功能Θ(s)，对于任何s，也将在O(s)。同样，如果一个函数在其中Θ(s)并且s总是少于某个其他函数t，则该函数在in中，O(t)但不是Θ(t)。

为了完整起见，这里也有Ω(n)。如果Θ代表==和O代表<=，Ω代表>=。所以an + b是Ω(1)，Θ(n)和O(n^2)。

就像我之前说的，要弄清楚类中的多项式真的很容易-您只需看一下度数即可。还有其他一些易于使用的功能。

a^bnfor 形式的任何函数a，b都在中Θ(a^n)。对于任何价值c >= a，他们都在O(c^n)。每个多项式都在中O(2^n)。从本质上讲，这只是说指数函数总是胜过多项式，而指数函数的基础很重要。

对数则相反。其一，log_b n是在Θ(log n)任何b。这意味着底数对数无关紧要。这是有道理的，因为在对数的不同底数之间切换只是乘以一个常数。对数函数也位于O(n)-即，对数函数小于任何多项式（至少为1级）。

给定这些功能的总和，最大的就是“胜利”。之所以这样，n + log n是Θ(n)因为该n术语占主导地位log n。乘法更复杂。对于CS，您唯一需要知道的nlog n是介于n和之间n^2。

不用太多数学，就可以使用函数f（n）= an + b并删除所有常量，因此看起来像是f（n）= n，然后将度数最高的“ n”作为答案QED Θ（n）