如何检查4个点是否形成正方形？

假设我有4个点（它们是2维），它们彼此不同，并且我想知道它们是否形成正方形。怎么做？（让过程尽可能简单。）

假设正方形可以相对于已有的坐标系旋转，则不能依赖于四个点中X和Y值的重复。

您可以做的是计算四个点之间的距离。如果您发现以下情况成立，那么您将得到一个正方形：

1. 有两个点，比如说A和C，它们彼此之间的距离为x；还有另外两个点，比如说B和D，它们之间也是彼此的距离x。

2. 每个点{A，B，C，D}与未x的两个点之间的距离相等。即：如果A 与C距离x，那么它将与B和D距离z。

顺便说一句，距离z必须为SQRT（（x ^ 2）/ 2），但是您无需确认这一点。如果条件1和2为真，则您有一个正方形。 注意：有些人担心平方根的效率低下。我并不是说您应该进行此计算，我只是说，如果您进行了计算，您将得到可预测的结果！

您要做的最起码的工作是选择一个点（例如A）并计算到其他三个点的距离。如果您发现一个点的A是x，另外两个点的z是z，那么您只需要检查其他两个点是否相对即可。如果它们彼此也是x，则您有一个正方形。即：

• AB = z
• AC = x
• AD = z

由于AB = AD，请检查BD：

• BD = x

只是要确保，您需要检查另一面：BC和CD。

• BC = z
• CD = z

由于AC = BD，并且AB = AD = BC = CD，因此，这是一个正方形。

在此过程中，如果找到两个以上的不同边距，则该图形不能是正方形，因此可以停止查找。

工作示例实施

我已经在jsfiddle上创建了一个工作示例（请参阅此处）。在对算法的解释中，我使用了任意点A，B，C和D。为了遍历示例，这些任意点碰巧是按一定顺序排列的。即使这些点的顺序不同，该算法也可以工作，但是，如果这些点的顺序不同，则该示例不一定有效。

感谢： meshuai，Blrfl，MSalters和Bart van Ingen Schenau提出的有益意见，以改善此答案。

选择四个点中的三个。

通过检查点之间的三个向量之一是否等于旋转90度的另一个向量，找出它是否为等腰三角形。

如果是这样，则通过向量相加来计算第四点，并将其与给定的第四点进行比较。

请注意，这不需要昂贵的平方根，甚至不需要乘法。

我认为最简单的解决方案如下：

• 首先，计算这四个点的中心： center = (A + B + C + D)/4

• 然后计算向量A - center。让它成为v := (x,y)

• 令v2向量v旋转90度：v2 := (-y, x)

• 现在，其他的点应该是center - v，center + v2和center - v2。

此解决方案的优点是您根本不必使用平方根。

抱歉，某些答案不适用。

对于这种情况，您测量了3条边（假设AB，AC和AD），发现两条边具有相同的大小（例如AC和AD），而一条边更大（例如AB）。然后，您将测量CD以查看其大小是否与AB相同，然后您会发现它的大小。可能没有正方形，而是下面的图片，这使它成为错误的解决方案。

然后尝试其他解决方案：至少测量一次所有距离：AB，AC，AD，BC，BD，CD。然后，您发现那时的4个相等，而其他2个也相等。但是您可能只有下面的图片：

因此，尽管获得了很高的评价，但这些答案还是不正确的。

一种可能的解决方案：如果两个相等的度量未连接同一点。因此：如果AB和CD长度相同，则所有其他组合（AC，AD，BC，BD）也相等，那么您就有一个平方。如果同一点的长度最大（AB和AC最大，其他所有都相等），则上面的图片之一。

令这四个点具有坐标向量a，b，c，d。

然后让我们称它们的差异为w =（ad），x =（ba），y =（cb），z =（dc）。

如果可以从a旋转90度来创建w，则w与a正交。在数学上，二维空间中的90度旋转矩阵是（（0，-1），（1，0）。因此，w是否为90度旋转的条件导致

（w_1 == -x_2和w_2 == x_1）

如果成立，则需要检查w == -y和x == -z，或者

（（w_1 == -y_1和w_2 == -y_2）和（x_1 == -z_1和x_2 == -z_2））

如果这三个关系成立，则a，b，c，d会构成一个定向的正方形。

类似于starblue的答案

选择四个点中的任何三个。

在其中寻找直角的顶点：通过检查三个向量中的任意两个的点积是否为零。如果找不到，就不是正方形。

检查与该角度相邻的顶点是否也成直角。如果不是，则不是正方形。

检查对角线是否垂直：如果第一和第四顶点与其他两个顶点（对角线）之间的矢量的点积为零，则其为正方形。

这里有一些很好的答案，但是这个问题要求最简单的方法。我快速思考了一下，这就是我会做的。

您可以判断四个点是否代表一个正方形（即使旋转），也可以找到四个点的平均值。

R = (A+B+C+D)/4

获得平均值后，所有四个点的每个点与平均值之间的距离必须相同。

if(dist(R,A) == dist(R,B) == dist(R,C) == dist(R,D) then
   print "Is Square"
else
   print "Is Not Square"

编辑：

我的错。那只会告诉您形状点是否在圆上。如果还检查点之间的距离，则它必须是正方形。

if(dist(R,A) == dist(R,B) == dist(R,C) == dist(R,D) AND
  (dist(A,B) == dist(B,C) == dist(C,D) == dist(A,D) then
   print "Is Square"
else
   print "Is Not Square"

这假定点A，B，C，D不交叉（因为具有有效的缠绕顺序）。

根据标准集，这不是一个答案，但是我希望这会有所帮助：

[从下面的链接复制，因此您不必打开链接] Python 76个字符

def S(A):c=sum(A)/4.0;return set(A)==set((A[0]-c)*1j**i+c for i in range(4))

函数S将复数列表作为其输入（A）。如果我们知道正方形的中心和一个角，则可以通过围绕中心点（c）旋转角90,180和270度来重建正方形。在复平面上，通过将点乘以i绕原点旋转90度。如果我们的原始形状和重建的正方形具有相同的点，那么它一定是正方形。

摘自： 确定4个点是否形成正方形

我说，如果您喜欢答案，请花点时间感谢此人，或在该页面上投票给他的答案。

我认为您可以通过简单的加减运算来找到最小值/最大值。字词（与其他人的图匹配）：

• y值最高的点=> A
• 最高x => B
• 最低y => C
• 最低x => D

如果4个点仅共享2个x值和2个y值，则您有一个水平平方。

否则，如果您的点满足以下条件，则您有一个正方形：

• Ax + Cx = Bx + Dx
• Ay + Cy = By + Dy
• Ay-Cy = Bx-Dx

说明：线段AC和BD应该在它们的中点相交。因此（Ax + Cx）/ 2是AC的中点，而（Bx + Dx）/ 2是BD的中点。将此方程的每一边乘以2，得到我的第一个方程。对于Y值，第二个方程式是相同的。菱形（菱形）将满足这些属性，因此您需要检查边是否相等-宽度是否与高度相同。那是第三个方程式。

基本想法（这回答了我是否正在贡献新的东西的问题，当我单击以提供答案时，该问题被机器人问到了）：

• 对角线相等的菱形是一个正方形。
• “尽可能简单”包括：
  • 没有分裂，
  • 没有平方根，
  • 没有分支
  • 没有搜索，
  • 没有角度检查或追逐，
  • 没有向量
  • 没有转变，
  • 没有复数，
  • 没有多行功能，并且
  • 不导入特殊软件包（仅使用内置的东西）。
  • （也没有帝王的纠缠！）

我在R中的解决方案如下所示。我假设恰好有四个点，并且根据问题陈述，已经确定了这些点是唯一的。

sumsq <- function(x) sum(x^2)

quadrances.xy <- function(xy) vapply(
    as.data.frame(t(diff(xy)), optional=T), sumsq, 1)

观看诺曼·怀德伯格（Norman Wildberger）的作品，尤其是他的YouTube视频（真实的鱼类，真实的数字，真实的工作等）和他的《神的比例》一书，其中讨论了“四面楚歌”。

xy指的是由R的接受一种基质的plot，points和lines功能。

应用as.data.frame是使R按列进行操作的一种技巧。

该optional=T子句消除了无论如何都不会使用的名称。

quadrances.xy..i2. <- function(xy, i2) vapply(
    as.data.frame(i2, optional=T),
    function(k) quadrances.xy(m[k,]),
    1)

此函数用于计算指定点之间的象限，其中点对由i2参数指定。该i2符号指的是一个索引矩阵，每个索引具有一列，每列具有2个元素（该combn函数返回的同类矩阵）。

quadrance.every.xy <- function(xy, .which=combn(nrow(xy), 2))
        quadrances.xy..i2.(xy, .which)

的.which是作为一个参数只是将其暴露在formals并试图与之通信是怎么回事。

is.square.xy <- function(xy) {
    qq <- sort(quadrance.every.xy(xy))
    all(qq[2:4] == qq[1]) && # ALL SIDES (SHORT QUADRANCES) EQUAL
    qq[5] == qq[6] # ALL DIAGONALS (LONG QUADRANCES) EQUAL
}

我说“简单”不包含多行功能。您必须原谅此两行功能。

xy <- t(matrix(c(3,0,  7,3,  4,7,  0,4), ncol=4))
xy
#      [,1] [,2]
# [1,]    3    0
# [2,]    7    3
# [3,]    4    7
# [4,]    0    4
is.square.xy(xy)
# [1] TRUE

请注意，除了关于这四个要点的问题之外，前四个功能本身就很有用。

假设四个点A =（ax，ay），B =（bx，by），C =（cx，cy），D =（dx，dy），它们形成了一个逆时针方向的正方形点。通过将bx，cx和dx减去ax，然后将by，cy和dy减去ay，设置ax = ay = 0，移动点，使A处于（0，0）。

如果这些点按逆时针顺序恰好是正方形的角，则我们应具有（cx，cy）=（bx-by，bx + by）和（dx，dy）=（-by，bx）。因此，我们计算了从C和D到应到达的平方距离：errC =（cx-bx + by）^ 2 +（cy-bx-by）^ 2，而errD =（dx + by）^ 2 +（dy-bx）^ 2。我们将它们相加，然后除以（bx ^ 2 +除^ 2），得到err =（errC + errD）/（bx ^ 2 +除^ 2）。如果是完美的正方形，则结果err将为0；如果几乎是正方形，则结果为err；如果我们平移，缩放或旋转正方形的点，则该数字将保持不变，但舍入误差除外。

但是我们不知道顺序。我们可以找出哪个点是C，因为它离A远：计算distB = bx ^ 2 + by ^ 2，distD = dx ^ 2 + dy ^ 2。如果distD≥1.5 distB，则交换C和D；如果distB≥1.5 distD，则我们交换C和B。现在C是正确的。我们还可以找出哪些点是B和D：如果我们猜错了哪一个是B而哪一个是D，则我们的计算会将D放到完全错误的位置。所以如果errD≥（bx ^ 2 + by ^ 2），那么我们交换B和D。

摘要：

1. 从bx，cx，dx中减去ax。用cy，dy减去ay。
2. 令distB = bx ^ 2 + by ^ 2，distD = dx ^ 2 + dy ^ 2。
3. 如果distD≥1.5 * distB，则交换C和D并再次计算distD
4. 否则，如果distB≥1.5 * distD，则交换B和C并再次计算distB。
5. 令errD =（dx + by）^ 2 +（dy-bx）^ 2。
6. 如果errD≥distB，则交换B和D，交换distB和distD，再次计算errD。
7. 令errC =（cx-bx + by）^ 2 +（cy-bx-by）^ 2。
8. 令err =（errC + errD）/ distB。
9. 根据err的值确定是正方形还是近似正方形。

如果我们知道点的顺序，显然可以简化。

解决方案类似于思考媒体。

第一步：

x = (A+B+C+D)/4
f=0
if(dist(x,A) == dist(x,B) == dist(x,C) == dist(x,D) 
   f=1
else
   f=0

此属性后跟正方形，因为它是循环的。现在是跟随此属性的圈子。所以，现在只需检查

if(A.B==B.C==C.D==D.A==0)
  f=1
else 
  f=0

if (f==1)
  square
else 
  not square

在这里AB表示A和B的点积