为什么Haskell函子在其目标类别中仅具有派生类型？

在Haskell中，Functor类型类函子的定义如下（例如，参见Haskell Wiki）：

class Functor (f :: * -> *) where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 

据我了解（请纠正我，如果我错了），这样的仿函数只能作为目标类别使用类型构造一个类别构成，例如[]，Maybe等等。另一方面，人们可能会想到有任何类别的函子作为函子的目标，例如所有Haskell类型的类别。例如，Int可以是函子的目标类别中的对象，而不仅仅是Maybe Intor [Int]。

限制Haskell函子的动机是什么？

完全没有限制！当我开始学习类型构造函数的类别理论基础时，这一点也使我感到困惑。我们将解决这个问题。但是首先，让我澄清一些混乱。这两个引号：

这样的函子只能将使用类型构造函数构造的类别作为目标类别

和

可能会想到具有任何类别作为函子目标的函子，例如所有Haskell类型的类别

说明您误解了函子是什么（或者至少是您误用了术语）。

函子不构成类别。函子是类别之间的映射。函数将源类别中的对象和形态（类型和函数）带到目标类别中的对象和形态。

请注意，这意味着函子实际上是一对映射：对象F_obj上的映射和态射F_morph上的映射。在Haskell中，函子的对象部分F_obj是类型构造函数的名称（例如List），而形态学部分是函数fmap（取决于Haskell编译器来整理fmap我们在任何给定表达式中引用的内容）。因此，我们不能说这List是一个函子。只的组合List和fmap是一个算符。尽管如此，人们还是滥用符号。程序员List将函子称为函子，而类别理论家则使用相同的符号来引用函子的两个部分。

此外，在编程中，几乎所有的函子都是内函子，即源类别和目标类别是相同的-我们语言中所有类型的类别。我们将此类别称为Type。一个endofunctor ˚F上型类型映射Ť到另一种类型的FT和功能笔- >取值给另一个函数FT - > FS。当然，此映射必须遵守函子定律。

使用List为例：我们有一个类型构造List : Type -> Type和功能fmap: (a -> b) -> (List a -> List b)，共同构成一个仿函数。Ť

最后一点需要澄清。编写List int不会创建新的整数列表类型。这种类型已经存在。这是我们类别Type中的一个对象。List Int只是引用它的一种方式。

现在，您想知道为什么函子无法将类型映射到例如Int或String。但是，可以！只需使用身份函子即可。对于任何类别C，身份仿函数都将每个对象映射到自身，并将态射映射到自身。验证此映射是否满足函子定律很简单。在Haskell中，这将是一个id : * -> *将每个类型映射到自身的类型构造函数。例如，id int计算为int。

而且，甚至可以创建恒定的函子，将所有类型映射到一个类型。例如，functor ToInt : * -> *（ToInt a = int对于所有类型为）a，并将所有态射映射到整数标识函数： fmap f = \x -> x