为什么有些语言会四舍五入到最接近的偶数整数？

当值恰好在周围整数之间时，Scheme（R5RS）和Python（请参见此问题）之类的编程语言会向最接近的偶数整数取整。

这背后的原因是什么？
是否有一个数学思想可以简化以下计算的推理？

（R5RS引用IEEE浮点标准作为此行为的来源。）

前一阵子，我构建了一个用于连续取整的测试程序，因为它基本上是用于取整算法的最坏情况下的压力测试。

对于从0到9,999的每个数字，它首先四舍五入到最接近的10，然后四舍五入到最接近的100，然后再四舍五入到最接近的1000。（您也可以认为这是[0,1]中的10,000点）被四舍五入到3位，然后到2，然后到1。）这组数字的平均值为4999.5。

如果使用“四舍五入”方法完成所有三个舍入，则结果如下（第一列是舍入结果，第二列是对该结果舍入了多少个数字，即它是直方图）。

0     445
1000  1000
2000  1000
3000  1000
4000  1000
5000  1000
6000  1000
7000  1000
8000  1000
9000  1000
10000 555

结果从一次“四舍五入”到每10,000中最接近的一千五百五十次不等，平均舍入值为5055（比原始平均值高55.5）。

如果通过“四舍五入”完成所有三个舍入，则结果为：

0     556
1000  1000
2000  1000
3000  1000
4000  1000
5000  1000
6000  1000
7000  1000
8000  1000
9000  1000
10000 444

结果从单个“向下取整”到10,000中的最接近的一千五百五十次不同，并且平均取整值为4944（太低了55.5）。

如果所有三个舍入均使用“四舍五入”进行，则结果为：

0     445
1000  1111
2000  889
3000  1111
4000  889
5000  1111
6000  889
7000  1111
8000  889
9000  1111
10000 444

结果从一个“四舍五入的奇数”到10,000中最接近的一千五百五十次不等，平均舍入值为4999.5（正确）。

最后，如果所有三个舍入均使用“半舍入”进行，则结果为：

0     546
1000  909
2000  1091
3000  909
4000  1091
5000  909
6000  1091
7000  909
8000  1091
9000  909
10000 1091

结果从一个“四舍五入”到10,000中最接近的千次450次，平均舍入值为4999.5（正确）。

我认为很明显，向上舍入和向下舍入都会使舍入值产生偏差，因此舍入值的平均值不再具有与原始值的平均值相同的期望，并且“舍入为偶数”和“舍入为奇数”消除偏见的方法是，一半时间一次处理5，另一半时间另一种方法。连续的舍入会增加偏差。

四舍五入的偶数和四舍五入的奇数会给分布带来自己的偏差：分别偏向偶数和奇数。同样，在这两种情况下，此偏差都会乘以连续的舍入，但是对于舍入为奇数的情况则更糟。我认为这种情况下的解释很简单：5是一个奇数，因此，半数奇数的结果以5结尾比偶数半数更多，因此，更多的结果将需要在下一个舍入中专门处理。

因此，无论如何，在这四个选择中，只有两个是无偏的，在这两个无偏的选择中，如果经过反复四舍五入，则舍入的一半甚至会表现出最佳的分布。

这称为银行家四舍五入。这样做的目的是使许多舍入操作产生的累积误差最小。

假设您总是四舍五入。想想所有这些很少的利息支出，银行每次赚五分钱。

假设您总是四舍五入。会计将大声疾呼，因为您支付的利息超出了您应有的水平。