我有一个关于λ微积分的哲学问题。
当您探索λ微积分时，您会惊讶地看到在那里可以做的所有事情。您可以定义整数，算术运算，布尔值，if-then-else语句，循环，递归函数等。我相信它已经被证明在计算上是完整的。
但另一方面，如果考虑使用λ微积分中的函数，您会意识到唯一可以做的就是向它提供一个函数，然后它返回另一个函数。这个过程永无止境。
那么如何从计算中提取结果呢？
假设表达式的结果是function f。您要检查是否f符合您的期望。您可以对其进行测试，采用您知道的功能，应用于f它并接收g。但是要检查g是否正确，您现在需要验证是什么g。然后您从头开始。那么，您如何得知f？
在我看来，您可以用一个函数，身份函数替换λ演算中的所有函数I = λx.x，并且一切仍然按λ演算中所述工作。教堂数字3给定f并x返回f(f(f(x)))。但是由于f并且x只能是I，它返回I。 I应用于I并且I还返回I。因此I满足的定义3。在“布尔” (λxy.x)和(λxy.y)需要2个参数，这将是I与I这样两个布尔值将会返回I。尽管它们完全按照其定义运行，但每个都等同于标识。
那么，您如何发挥作用呢？您如何证明λ微积分处理的不仅仅是一个函数？
有身份的概念吗？您可以立即识别功能而不进行评估吗？我相信已经证明没有办法测试2个函数是否相等。
还是λ微积分不是功能，而是功能的形式描述？这将意味着λ表达式不仅定义函数的功能，而且还定义函数操作的数据。所以，当你写A B，你并不适用A于B，但你申请由字符串描述的功能A的函数的正式定义包含在B返回另一正式定义。
λ演算中实际上发生了什么？它处理的数学对象是什么？
跟进：
好的，从下面的答案看来，λ演算似乎不是关于数学意义上的函数，而是关于可以表示为λ表达式的函数子集。甚至更多关于操纵λ表达的信息。