为什么在科学/工程中经常使用浮点数？

在研究浮点数的准确性时，我在一些地方看到了类似于

“ float和double是（设计 / 经常用于）工程和科学计算 “

根据我的理解，浮点数和双精度数的强度是它们用于（良好但不是完美的）精度所使用的内存量。

我觉得我几乎从这个答案中得到了理解

“浮点数使您可以为连续数量建模”

我仍然不相信我的理解。工程学和科学听起来都像是您希望从计算中获得精确结果的领域，据我所知，浮点数不会给出。我也不确定我到底遵循什么“连续数量”。

有人可以进一步解释一下，也许举个例子吗？

科学与工程计算需要在精度，范围和速度上进行权衡。定点算法可提供精度和适当的速度，但会牺牲范围。BigNum，任意精度的库在范围和精度上都占优势，但在速度上却有所损失。

问题的症结在于，大多数科学和工程计算都需要高速，大范围的计算，但对精度的要求相对适中。确定得最好的物理常数只有大约13位数字，而且许多值的确定性要差得多。计算机上的精度超过13位将无济于事。美中不足的是浮点运算的序列会逐渐失去精度。数值分析的基本原理是找出哪些问题特别容易受到影响，并找出重新安排操作顺序以减少问题的巧妙方法。

数学中的数论是一个例外，它需要对具有数百万个位数但绝对精度的数执行算术运算。数值理论家经常使用BigNum库，并且他们花费很长时间进行计算。

您提出什么选择？

连续数量在数学中使用实数表示。没有可以对每个可能的实数进行编码的数据类型（因为实数不可数），因此这意味着我们只能选择我们最感兴趣的那些实数的子集。

• 您可以选择所有可计算的实数，这与计算机代数系统（CAS）相似。问题在于，随着您的表达式树越来越大，它很快变得不可行。这也非常慢：尝试在Mathematica中象征性地求解庞大的微分方程组，然后与其他基于浮点的实现进行比较，您会发现速度上的巨大差异。此外，正如JörgW Mittag和kasperd所指出的：您甚至没有可判定的平等/比较操作。

• 您可以使用精确的有理数，但是对于许多应用程序并不能真正起作用，因为您需要计算平方根或余弦或对数等。此外，还有一种趋势，即有理变得越来越复杂，因此需要更多的存储空间在您执行越来越多的计算时需要花费更多的时间。

• 您还可以使用任意精度的小数，但是即使除法这样简单的操作也无法使用，因为您会无限次重复数字。您也可能遇到复杂性增加的问题，因为您执行的行为与有理数更相似，但程度较小。

因此，在某些情况下您将不得不使用近似值，在这种情况下，恰恰是浮点数最有效的地方。浮点数也是固定宽度的（不同于前面提到的所有其他3种数据类型），这可以防止随着对它们执行越来越多的计算而导致复杂性增加。

您对科学的主张是错误的，除了数学之外，工程与科学无法获得精确的结果。它们以精度系数工作，该精度系数内置于您显示的位数中。

您需要在这里理解的关键术语是： 重要数字。数字的有效数字是带有含义的数字，有助于其准确性。

这基本上意味着，如果我声明某物长12厘米，则实际上它的长度可以在11.5至12.5厘米之间。但是，如果我声明某物长12厘米，则长度可能在11995到12005厘米之间。

只是举例说明，如果您用卷尺测量客厅。即使您发现它的宽度为6米25厘米，您也知道卷尺测量的准确性不足以告诉您有关毫米精度或纳米精度的任何信息。

请注意，浮点数基本上与科学和工程符号相同，这是人类在数学和科学中写数字的标准方式。在这些领域中，对极高精度的需求不大，但通常范围很大。

为了从我的物理作业中随机挑选一个例子，最近我不得不处理一个电子质量，大约为9.11 * 10 ^ -31 kg。我不在乎精度。就我而言，这很容易达到9.12。但是我关心指数，不想写0.0000 ... 911千克，所以我使用科学计数法。

类似的推理适用于科学和工程计算：范围很广，但是我们不想存储和处理非常大的数字，因此我们存储归一化的值和指数，该指数和指数较小且处理速度更快。

浮点数还具有一些特性，非常适合计算某些类型的科学结果。最值得注意的是，就像科学计数法一样，精度与幅度成反比，因此您既可以表示接近零的小差异，也可以表示距离很远的较大差异。

戈德堡（Goldberg）的论文可能是对浮点数的性质最著名的分析（如果您关心这种事情，则需要阅读），但我认为卡汉（Kahan）的论文在解释许多细微之处背后的原理方面做得更好。设计问题。

特别是，卡汉（Kahan）关于Java的浮点实现的讽虽然颇具煽动性，但却为IEEE-754语义为何有用提供了许多好处，无所事事的“迹象之多”（Ado About Nothing's Sign Bit）相当深入地探讨了零号的原理。

TL; DR我们不知道如何精确地计算大多数函数，因此，没有一点可以精确地代表数字。

到目前为止，所有答案都遗漏了最重要的一点：我们无法计算大多数数字的确切值。作为一个重要的特殊情况，我们不能计算指数函数的精确值-仅引用最重要的非理性函数。

天真的答案

您的问题似乎是“存在精确的算术库，为什么我们不使用它们来代替浮点算术？”答案是精确算术可用于有理数，并且：

• 阿基米德的数字-π的学名-不合理。
• 许多其他重要常数也不合理。
• 许多其他重要常数甚至都不是有理数。
• 对于任何非零有理数x，数字exp（x）是无理的。
• 类似的陈述适用于部首，对数以及对科学家重要的许多功能（高斯分布，其CDF，贝塞尔函数，欧拉函数等）。

有理数是幸运的意外。大多数数字不是有理数（请参阅Baire定理），因此对数进行计算将始终使我们脱离理性世界。

什么是计算并代表数字？

我们可能会说“好吧，问题在于有理数不是表示实数的好选择”。然后，我们将Debian分叉起来，为实数设计新的表示系统。

如果要计算数字，则必须为实数选择一个表示系统并描述其上的重要运算，即定义计算的含义。由于我们对科学计算感兴趣，因此我们希望准确表示所有十进制数（我们的度量），它们的商（有理数），指数函数的值以及一些有趣的常数，例如阿基米德的数。

问题在于，在这样的系统中完美表示数字的唯一方法是使用符号形式，即完全不计算任何东西并使用代数表达式。这是实数的一种残缺表示，因为我们无法可靠地比较两个数字（哪个更大）？我们甚至不能轻易回答“给定的数字等于0吗？”的问题。

例如，如果您要寻找更精确的数学定义和问题，请寻找有理数，先验数，最佳逼近和贝儿定理。

因为

1）作者假设“工程和科学计算”可测量现实世界的物理量

2）物理量是连续的，并且完全按照您所说的“浮点数可以对连续量建模”

..而我的答案的其余部分由Rufflewind很好地总结了，所以我在这里不再重复。

浮点数提供了相对的准确性：它们可以代表的数字最多（相对于某个数字的准确百分比）只有很小的百分比（如果您要称一个百分比为0.0000000000001％）。他们使用计算尺具有相同的特征，尽管后者并没有比3位数的精度更好。尽管如此，在数字计算机普及之前，它足以算出大型结构的静态和动态力，这是因为材料常数也显示出一些变化，并且选择对材料和结构差异合理良性的结构将趋向于发展。使最大负载和薄弱点合理可辨。

现在，“准确性”对于许多表示物理性质的测量值和/或大小的数字来说是有用的功能。

并非科学/工程学中的所有事物都属于该类别。例如，如果您使用数论变换来乘以大数，或者使用Galois字段来处理纠错多项式，那么就不会出现小错误：处理过程中的任何一位错误都将导致与完全随机的结果难以区分噪声。

即使在那些区域中，只要人们跟踪误差的累积并确保浮点误差的累积量不大到甚至可能翻转浮点数，就可以使用浮点数（例如使用复杂的FFT进行卷积）。它们是近似的实际实体。对于这样的近似值，定点处理可能会更合适，但是现场中的浮点单元倾向于提供更快的操作和更多的可用位。

同样，像C或Fortran这样的编程语言也使得访问混合精度乘法和除法或加法/减法进位等基本操作出奇地困难，而这些是超越有限精度整数的基本构造块。

因此，如果您可以将操作映射到浮点数，那么这些天您将倾向于拥有相当强大的硬件，并且可以合理地用当今的通用编程语言之一指定算法。

我认为可以通过解决不适合的应用程序float/ double数据类型来解决。

当您需要确保可以精确地用特定数字位数表示数字时，则浮点数是不合适的，因为它们将数字表示为2的幂，而不是10的幂，就像我们用现实中。

因此，不应使用浮点数据类型的一个域是Finance *。对于例如银行的核心系统，如果本应为$ 100000.01的金额突然变为$ 100000.00或$ 100000.02，那将是完全不可接受的。

使用浮点数时很容易发生这种问题，特别是如果数字是一个或多个计算的结果，例如，计算一个帐户中所有交易的总和。

工程和科学计算是可以接受这些较小舍入误差的领域。用户通常会意识到所有数字的精度有限，并且通常使用许多有效数字。但最重要的是，它们具有明确定义的相对精度，即，无论是很大的数字还是很小的数字，它们都提供相同数量的有效数字。

*我曾经在一个金融应用程序上做过工作，其中使用floats来表示值，因此引入了舍入误差。幸运的是，这个特定的错误根本不是关键，用户确实抱怨程序中的计算错误。这就导致了不同的效果，甚至更糟：用户开始对系统失去信心。