k组合的快速索引

我正在重新审视我前一段时间正在研究的一个老问题。

典型的场景是“在8位整数内设置3位”，即00000111。

通过嵌套循环可以轻松地（按顺序）生成具有3个置位的所有唯一组合。我感兴趣的是映射索引<->组合，即“ 00001011”将是第二个组合（或从零开始的索引中的值“ 1”）。

到目前为止，我浏览了所有组合并将它们存储在表中，从而使查找索引->对话成为O（1）操作。另一个方向是对分搜索的O（ln（n））。

但是，不利的一面是，如果我们增加域的范围，这显然会占用大量内存，直到不可行的程度。

计算第n个组合或给定组合的索引的简单方法是什么？组合顺序会很好，但不是强制性的。

生成第n个组合称为“不排序”算法。请注意，排列和组合通常可以等同于问题的参数化方式。在不确切知道问题是什么的情况下，很难推荐正确正确的方法，并且实际上，对于大多数组合问题，通常可能有几种不同的排序/不排序算法。

一种很好的资源是Kreher和Stinson的“组合算法”。本书有许多很好的排名和排名算法，这些算法已经清楚地说明了。有更多高级资源，但是我建议您以Kreher作为起点。作为取消排序算法的示例，请考虑以下内容：

/** PKSUL : permutation given its rank, the slots and the total number of items
 *  A combinatorial ranking is number of the permutation when sorted in lexicographical order
 *  Example:  given the set { 1, 2, 3, 4 } the ctItems is 4, if the slot count is 3 we have:
 *     1: 123    7: 213   13: 312   19: 412
 *     2: 124    8: 214   14: 314   20: 413
 *     3: 132    9: 231   15: 321   21: 421
 *     4: 134   10: 234   16: 324   22: 423
 *     5: 142   11: 241   17: 341   23: 431
 *     6: 143   12: 243   18: 342   24: 432
 *  From this we can see that the rank of { 2, 4, 1 } is 11, for example. To unrank the value of 11:
 *       unrank( 11 ) = { 11 % (slots - digit_place)!, unrank( remainder ) }
 * @param rank           the one-based rank of the permutation
 * @param ctItems        the total number of items in the set
 * @param ctSlots        the number of slots into which the permuations are generated
 * @param zOneBased      whether the permutation array is one-based or zero-based
 * @return               zero- or one-based array containing the permutation out of the set { ctItems, 1,...,ctItems }
 */
public static int[] pksul( final int rank, final int ctItems, final int ctSlots, boolean zOneBased ){
    if( ctSlots <= 0 || ctItems <= 0 || rank <= 0 ) return null;
    long iFactorial = factorial_long( ctItems - 1 ) / factorial_long( ctItems - ctSlots );
    int lenPermutation = zOneBased ? ctSlots + 1 : ctSlots;
    int[] permutation = new int[ lenPermutation ];
    int[] listItemsRemaining = new int[ ctItems + 1 ];
    for( int xItem = 1; xItem <= ctItems; xItem++ ) listItemsRemaining[xItem] = xItem; 
    int iRemainder = rank - 1;
    int xSlot = 1;
    while( true ){
        int iOrder = (int)( iRemainder / iFactorial ) + 1;
        iRemainder = (int)( iRemainder % iFactorial );
        int iPlaceValue = listItemsRemaining[ iOrder ];
        if( zOneBased ){
            permutation[xSlot] = iPlaceValue;
        } else {
            permutation[xSlot - 1] = iPlaceValue;
        }
        for( int xItem = iOrder; xItem < ctItems; xItem++ ) listItemsRemaining[xItem] = listItemsRemaining[xItem + 1]; // shift remaining items to the left
        if( xSlot == ctSlots ) break;
        iFactorial /= ( ctItems - xSlot );
        xSlot++;
    }
    if( zOneBased ) permutation[0] = ctSlots;
    return permutation;
}

这是置换排序，但是如上所述，在许多情况下，您可以将组合排序转换为等效的置换问题。