2 ^ sqrt（n）的时间复杂度

我正在解决一个算法问题，我的分析是它将在O（2 ^ sqrt（n））上运行。那有多大 它等于O（2 ^ n）吗？现在仍然是非多项式时间吗？

这是个有趣的问题。幸运的是，一旦您知道如何解决它，就不会特别困难。

对于函数˚F：Ñ → [R ⁺和克：Ñ → [R ⁺，我们有˚F ∈ Ô（克）当且仅当LIM SUP _{Ñ →∞} ˚F（Ñ）/ 克（Ñ）∈ [R 。

函数˚F：Ñ → [R ⁺具有至多多项式生长当且仅当存在一个常数ķ ∈ Ñ使得˚F ∈ Ö（Ñ ↦ Ñ ^ķ）。让我们的工作了这一点，对任意但固定ķ ∈ ñ。

LIM SUP _{Ñ →∞} 2 ^{（Ñ 1/2）} / Ñ ^ķ =
LIM _{Ñ →∞} 2 ^{（Ñ 1/2）} / Ñ ^ķ =
LIM _{Ñ →∞} ë ^{日志（2）Ñ 1/2} / E ^{日志（Ñ）ķ} =
LIM _{ñ →∞} ë ^{日志（2）ñ 1/2 -日志（ñ）ķ} =∞∉ ř

第一个等式是正确的，因为分母和分母都是单调增长的稳定函数。第二个等式使用标识x ^y = e ^log（x）y。该限制不是有限的，因为最终表达式中的指数不受上述限制。在没有给出正式证明的情况下，可以假定已知n ^1/2渐近地主导log（n）。因此，所讨论的函数超过多项式增长。

然而，它的生长比的指数，其中指数被定义严格以下（我，为了这个目的）作为ø（ñ ↦2 ^{Ç Ñ}）为C ^ > 0显示这是更简单的。

LIM SUP _{Ñ →∞} 2 ^{ç Ñ} / 2 ^{（Ñ 1/2）} = LIM _{ñ →∞} 2 ^{Ç ñ - ñ 1/2} =∞∉ ř

对于任何固定的c >0。因此，函数的复杂度确实在多项式和指数之间。

那有多大 好吧，O（2 ^ sqrt（n））到底有多大：-(

为了弄清楚它的含义，想象一下您的算法将不只是O（2 ^ sqrt（n）），而是实际上在您的计算机上需要2 ^ sqrt（n）纳秒：

n = 100：2 ^ 10 = 1024纳秒。根本没有时间。n = 1000：2 ^ 31.xxx = 20亿纳秒。两秒钟，这很明显。n = 10,000：2 ^ 100≈10 ^ 30纳秒= 10 ^ 21秒= 30万亿年

这比2 ^ n纳秒要好得多，n = 100的纳秒要花费30万亿年，但是仍然可以解决的问题的规模非常有限。如果您认为一个问题可以解决，如果您的计算机可以在一星期内解决，则大约为6 x 10 ^ 14纳秒，大约为n = 2,400。另一方面，最多可以在毫秒内解决n = 400的问题。

（实际上，对于n = 10,000，O（2 ^ sqrt（n））和O（2 ^ n）花费的时间完全相同：等待时间太长。）

它确实超出了任何多项式。采取另一种算法，耗时n ^ 1000秒。这对于n = 2实际上是无法解决的。该算法花费的时间更长，直到n约为8.85亿。但是真的，谁在乎呢？到那时，两种算法所用的年数均为9,000位数字。