从整数转换为单精度时可能会失去精度

当我进入该部分时，我正在阅读Microsoft的一篇有关扩大转换和严格选择的文章。

以下转换可能会失去精度：

• 整数到单
• 长到单或双
• 小数到单或双

但是，这些转换不会丢失信息或幅度。

..但根据另一篇有关数据类型的文章，

• 整数类型可以存储-2.147.483.648至2.147.483.647和

• 单一类型可以存储

  • 1,401298E-45到3,4028235E + 38（正数），
  • 和-3,4028235E + 38到-1,401298E-45（对于负数）

..因此Single可以比Integer存储更多的数字。我不明白在什么情况下从Integer转换为Single可能会失去精度。有人可以解释一下吗？

单数可以存储比整数更多的数字

不，不能。两者Single和Integer都是32位，这意味着两者都可以存储完全相同的数字量，即2 ³² = 4294967296个不同的数字。

由于范围的Single明显的比大时，它是立即明显（因为的鸽巢原理），它不可能表示该范围内的所有数字。

并且由于的范围与和都可以表示Integer的最大数量的大小完全相同，但是也可以表示超出该范围的数字，因此很显然，它不可能表示范围内的所有数字。IntegerSingleSingleInteger

如果其中有一些Integer不能表示Single，则从转换Integer为Single 必定会丢失信息。

浮点类型（例如，Single和Double）在内存中由符号，尾数和指数表示。将其视为科学计数法：

Sign*Mantissa*Base^Exponent

正如您所期望的那样，它们使用基数2。还有其他一些调整可以表示无穷大和NaN，并且指数是偏移的（将返回到该值），并且尾数的一种缩写（也将返回到该值） 。寻找有关其表示和操作的标准IEEE 754，以获取更多详细信息。

出于我们的目的，我们可以将其想象成一个二进制数字“尾数”和一个“指数”，告诉您将小数点放在哪里。

在Single的情况下，他的符号为1位，指数为8位，尾数为23位。

现在，问题是，我们将从最高有效位开始存储尾数。请记住，左边的所有零都不相关。考虑到我们使用二进制工作，我们知道最高有效数字是1※。好吧，由于我们知道这一点，所以我们不必存储它。由于该缩写，尾数的有效范围是24位。

※：除非我们存储的数字为零。为此，我们将所有位设置为零。但是，如果我们尝试按照我给出的描述来解释，您将有一个2 ^ 24（隐式1）乘以1（2为指数0的幂）。因此，要解决此问题，指数零是一个特殊值。还有一些特殊值可存储指数中的无穷大和NaN。

根据指数偏移量（除了避免使用特殊值外），让其偏移量允许将小数点放置在尾数开头之前或尾数结尾之后，而无需为指数指定符号。

这意味着对于大数，浮点类型会将小数点放在尾数末尾之外。

请记住，尾数是24位数字。它永远不会代表25位数字...它没有多余的位。因此，单身人士无法区分2 ^ 24和2 ^ 24 + 1（这是前25位数字，而他们在最后一位上有所不同，这在单身人士中没有体现）。

因此，对于整数，单数的范围是-2 ^ 24到2 ^ 24。尝试将1加到2 ^ 24将导致2 ^ 24（因为就类型而言，2 ^ 24和2 ^ 24 + 1是相同的值）。在线试用。这就是为什么从整数转换为单数时会丢失信息的原因。这也是为什么在不引起您注意的情况下，使用一个或一个双精度循环实际上可能是无限循环的原因。

这是从转换Integer为Single精度时的实际示例：

该Single类型可以存储从-16777216到16777216（含）的所有整数，但不能存储此范围之外的所有整数。例如，它不能存储数字16777217。因此，它不能存储任何大于16777216的奇数。

我们可以使用Windows PowerShell查看将Integera 转换为a Single并返回的情况：

PS C:\Users\tanne> [int][float]16777213
16777213
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777214
16777214
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777215
16777215
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777216
16777216
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777217
16777216
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777218
16777218
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777219
16777220

请注意，将16777217舍入为16777216，将16777219舍入为16777220。

浮点类型类似于物理学中的“科学记数法”。该数字分为符号位，指数（乘数）和尾数（有效数字）。因此，随着值的增加，步长也会增加。

单精度浮点有23个尾数位，但是有一个“隐式1”，因此尾数实际上是24位。因此，所有大小最大为2 ^24的整数都可以用单精度浮点数精确表示。

超过此数量，可以表示更少的数字。

• 从2 ²⁴到2 ^25，只能表示偶数。
• 从2 ²⁵到2 ²⁶只能表示4的倍数。
• 从2 ²⁶到2 ^27，只能表示8的倍数。
• 从2 ²⁷到2 ^28，只能表示16的倍数
• 从2 ²⁸到2 ²⁹只能表示32的倍数
• 从2 ²⁹到2 ^30，只能表示64的倍数
• 从2 ³⁰到2 ³¹只能表示128的倍数

因此，在2 ^32个可能的32位带符号整数值中，仅2 *（2 ²⁴ + 7 * 2 ²³）= 9 * 2 ²⁴可以用单精度浮点表示。占总数的3.515625％。

单精度浮点数具有24位精度。超出的任何内容将四舍五入到最接近的24位数字。用十进制科学计数法可能更容易理解，但请记住，实际的浮点数使用二进制。

假设您有5个十进制数字的内存。您可以选择使用常规的unsigned int之类的数字，允许您使用0到99999之间的任何数字。如果您希望能够表示更大的数字，则可以使用科学计数法并仅分配两位数字作为指数，因此您现在可以表示0到9.99 x 10 ⁹⁹之间的任何值。

但是，现在可以精确表示的最大数字只有999。如果尝试表示12345，则可以得到1.23 x 10 ⁴或1.24 x 10 ⁴，但是您不能表示两者之间的任何数字，因为您没有足够的数字。