似然比检验的规律性条件是什么

谁能告诉我，似然比检验的渐近分布的正则条件是什么？

在我所看到的任何地方，它都写为“在规则性条件下”或“在概率性规则下”。究竟是什么条件？是否存在一阶和二阶对数似然导数并且信息矩阵不为零？还是完全其他？

maximum-likelihood likelihood-ratio asymptotics

— 金士达
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所需的规律性条件在大多数中级教科书中都有列出，并且与多学科的要求没有什么不同。以下是关于一个参数的情况，但它们对多参数一的扩展很简单。

条件1：pdf是不同的，即 $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

请注意，此条件实质上表明该参数标识pdf。

条件2： pdf对所有具有共同的支持 $\theta$

这意味着支持不取决于 $\theta$

条件3：点，即真实参数，是某个集合的内部点 $\theta_0$ $\Omega$

最后一个涉及出现在间隔端点中的可能性。 $\theta$

这三个一起保证了在真实参数处的似然性最大化，然后保证了求解方程的mle $\theta_0$ $\hat{\theta}$

\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} = 0

$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$

是一致的。

条件4：pdf是函数的两倍可微分 $f(x;\theta)$ $\theta$

条件5：积分可以在积分符号两次下分化为函数 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$ $\theta$

我们需要最后两个来导出Fisher信息，该信息在mle的收敛理论中起着核心作用。

对于一些作者来说，这些就足够了，但是如果我们要彻底的话，我们还需要确保mle渐近正态性的最终条件。

条件6：pdf是函数的三倍可微。此外，对于所有，存在一个常数和一个函数使得 $f(x;\theta)$ $\theta$ $\theta \in \Omega$ $c$ $M(x)$

| \frac{\partial^{3} 升 Ø G F （ X; θ ）}{\partial θ^{3}} | \leq 中号 （ X ）

$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$

与对于所有和所有在的支持下 $E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$ $|\theta-\theta_0|<c$ $x$ $X$

从本质上讲，最后一个条件使我们可以得出结论，关于二阶泰勒展开式的其余部分受概率限制，因此，在渐近性上没有问题。 $\theta_0$

那是你的想法吗？

— 约翰·克
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谢谢。但是，您确定与-2log（lambda）以df 1跟随卡方的证明有关的正则条件是否相同？

— Kingstat 2014年

@Kingstat是的。这些条件来自Hogg和Craig的“数学统计简介”，并确保在下，，

H_{0}

$H_0$

θ = θ_{0}

$\theta=\theta_0$

- 2 \log Λ \to^{D} χ^{2} (1)

$-2\log\Lambda \to^D \chi^2 (1)$

— JohnK

您能否也请告诉我，对于N（θ，1）密度，Rao的Score测验与UMPU测验等效吗？

— Kingstat 2014年

@Kingstat UMPU代表什么？

— JohnK 2014年

均匀，最强大，无偏见。

— Kingstat 2014年